Question

3．北京时间2013年12月10日晚上九点二十分，在太空飞行了九天的“嫦娥三号”飞船绕月球飞行，假设月球半径为R，月球表面重力加速度为g₀．飞船首先沿距月球表面3R的圆轨道Ⅰ运动．到达P点成功变轨到椭圆轨道Ⅱ，两轨道相交于点P，如图所示．关于“嫦娥三号”飞船，以下说法正确的是（　　）

• A． 在轨道Ⅰ上运动到P点的速度比在轨道Ⅱ上运动到P点的速度小
• B． 在轨道Ⅰ上运行的速率为$\sqrt{{g}_{0}R}$
• C． 在轨道Ⅰ上的势能与动能之和比在轨道Ⅱ上的势能与动能之和大
• D． 在轨道Ⅰ上运动的周期小于在轨道Ⅱ上运动的周期

Answer 1

分析 当万有引力刚好提供卫星所需向心力时 卫星正好可以做匀速圆周运动，若是万有引力大于需要的向心力，则卫星做逐渐靠近圆心的运动；若是万有引力小于需要的向心力，则卫星做逐渐远离圆心的运动；根据开普勒周期定律比较两个轨道上的周期．

解答 解：A、在轨道Ⅰ上到达P点要刹车制动才能成功变轨到椭圆轨道Ⅱ，故在轨道Ⅰ上运动到P点的速度比在轨道Ⅱ上运动到P点的速度大，故A错误；
B、在轨道Ⅰ运动时，万有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{（3R+R）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{3R+R}$
在月球表面，重力等于万有引力，故：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
联立解得：
v=$\frac{1}{2}\sqrt{{g}_{0}R}$
故B错误；
C、变轨的时候飞船需要点火，发动机做功，从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，发动机要做功使卫星减速，故在轨道Ⅰ上的势能与动能之和比在轨道Ⅱ上的势能与动能之和大，故C正确；
D、根据开普勒第三定律$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k为常数，可得半长轴a越大，运动周期越大，显然轨道Ⅰ的半长轴（半径）大于轨道Ⅱ的半长轴，故沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道?运动的周期，故D错误；
故选：C

点评 本题关键是记住：由高轨道变轨到低轨道需要减速，而由低轨道变轨到高轨道需要加速；同时要结合在星球表面重力等于万有引力，卫星的万有引力提供向心力列式．