Question

20．如图所示，一劲度系数k未知的轻弹簧下端固定于水平地面，上端与不可伸长的轻绳连接，轻绳跨过定滑轮的二端悬挂一个质量为m的重物．用手托住重物，使 得两边轻绳和弹簧都处于竖直状态，轻绳恰能拉直且弹簧处于原长．然后无初速度释 放重物，重物可下落的最大距离为l₀不计空气阻力、定滑轮质量及转轴摩擦，重力加速度为g，弹簧的形变在弹性限度内．求
（1）重物下落过程，弹簧的最大弹性势能是多少？
（2）将重物放在动摩擦因数为?，倾角为θ的固定斜面 上，用手按住它，恰能使轻绳拉直，弹簧处于原长，如图所 示．若要使重物下滑距离l，给重物沿斜面向下的初速度至 少要多大？
（3）在满足（2）的条件下，重物在斜面上运动过程速度最大时，弹簧的弹性势能E_x是多 少？（弹簧的弹性势能表达式E=$\frac{1}{2}$kx²，x表示形变量）

Answer 1

分析 （1）重物与弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出最大弹性势能．
（2）由能量守恒定律可以求出初速度．
（3）根据动摩擦因数大小与斜面倾角的关系，应用平衡条件、弹性势能表达式求出弹性势能．

解答 解：（1）、重物下落l过程它与弹簧组成的系统机械能守恒，
由机械能守恒定律得，弹簧的最大弹性势能：E_Pmax=mgl；
（2）、由（1）可知，重物在斜面上下滑l距离时，弹簧的弹性势能最大，
最大弹性势能：E_Pmax′=E_Pmax=mgl，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²+mglsinθ=μmglcosθ+E_Pmax′，
解得：v₀=$\sqrt{2gl（1+μcosθ-sinθ）}$；
（3）若μ≥tanθ，则重物在斜面上获得的初速度v₀是其最大速度，所求弹性势能为零；
若μ＜tanθ，在（2）的情况下，重物可能在斜面上做往复运动，当第一次到达平衡位置时，
摩擦损失的能量最少，速度最大，设此时弹簧的伸长量为x，弹簧的劲度系数为k，绳子拉力为T，
有：T=kx，mgsinθ=T+μmgcosθ，
在（2）的情况下，弹簧在原长与最大伸长量之间振动，由对称性可知，
其平衡位置在伸长量为$\frac{1}{2}$l处，有：mg=$\frac{1}{2}$kl，
由题意可知，所求弹性势能：E_x=$\frac{1}{2}$kx²，解得：E_x=$\frac{1}{4}$mgl（sinθ-μcosθ）²；
答：（1）重物下落过程，弹簧的最大弹性势能是mgl；
（2）给重物沿斜面向下的初速度至少为v$\sqrt{2gl（1+μcosθ-sinθ）}$；
（3）若μ≥tanθ，弹簧的弹性势能E_x是0；若μ＜tanθ，弹簧的弹性势能E_x是$\frac{1}{4}$mgl（sinθ-μcosθ）²．

点评 本题考查了求弹性势能、初速度问题，分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒定律、平衡条件、能量守恒定律即可正确解题，此题难度较大．