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    12．如图所示，半径为r、电阻不计的两个半圆形光滑导轨竖直正对放置，间距为L，轨道两端所在平面刚好水平．在导轨M、N间接有阻值为R的小灯泡，整个轨道处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中．现有一质量为m，电阻不计的金属棒ab从MN处由静止释放沿导轨运动，金属棒经过最低点时导轨受到金属棒的压力大小为2mg（g为重力加速度），之后金属棒能继续上升$\frac{2}{5}$r高度到达PQ处（未画出）速度才减为零．金属棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好．
    （1）求金属棒到达最低点时的速度大小
    （2）求金属棒从MN到PQ的过程中小灯泡上产生的热量及流过小灯泡的电荷量．
    （3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，可对金属棒施加一个力，这个力所做的总功至少为多少？

    分析 （1）金属棒经过最低点时导轨受到金属棒的压力大小为2mg，根据牛顿第二定律列式求出金属棒到达最低点时的速度大小；
    （2）根据能量守恒定律有，金属棒从MN到PQ过程中减少的重力势能转化为小灯泡上产生的热量，先计算金属棒从MN到PQ的过程中平均感应电动势，感应电流的大小，再推导求出流过小灯泡的电荷量；
    （3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，施加的外力做的功转化为了小灯泡上产生的热量和金属棒ab的重力势能．

    解答 解：（1）设金属棒到达最低点时的速度大小为v
    金属棒经过最低点时导轨受到金属棒的压力大小为2mg，由牛顿第三定律可知
    此时导轨对金属棒的支持力FN=2mg，方向竖直向上
    在最低点由牛顿第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$
    解得：v=$\sqrt{gr}$；
    （2）根据能量守恒定律有，金属棒从MN到PQ过程中减少的重力势能转化为小灯泡上产生的热量
    则小灯泡上产生的热量Q=mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{3mgr}{5}$
    金属棒ab切割磁感线产生的平均感应电动势E=$\frac{B•△S}{△t}$
    流过小灯泡的平均感应电流$I=\frac{E}{R}$
    则流过小灯泡的电荷量q=I•△t=$\frac{E}{R}•△t=\frac{B•△S}{R•△t}•△t=\frac{B•△S}{R}$
    金属棒从MN到PQ的过程中△S=L（r+$\sqrt{{r}^{2}-（r-\frac{2}{5}r）^{2}}$）=$\frac{9}{5}rL$
    故q=$\frac{B•S}{R}=\frac{9BrL}{5R}$；
    （3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，施加的外力做的功转化为了小灯泡上产生的热量和金属棒ab的重力势能
    由能量守恒定律有W=Q+mg（r-$\frac{2}{5}r$）=$\frac{6}{5}mgr$
    答：（1）金属棒到达最低点时的速度大小为$\sqrt{gr}$；
    （2）金属棒从MN到PQ的过程中小灯泡上产生的热量为$\frac{3}{5}mgr$，流过小灯泡的电荷量为$\frac{9BrL}{5R}$．
    （3）要使金属棒沿导轨从PQ再回到MN，可对金属棒施加一个力，这个力所做的总功至少为$\frac{6}{5}mgr$．

    点评 本题考查电磁感应与电路的综合问题，解题关键是明确各个过程中能量的转化关系，再结合能量守恒定律以及法拉第电磁感应定律进行求解．

    练习册系列答案
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    （1）为完成实验，还需下列那些器材BD
    A．秒表   B．刻度尺   C．打点计时器   D．复写纸
    （2）请你推导出弹簧的弹性势能EP与小钢球质量m、桌面离地面高度h，水平距离S等物理量的关系式：$\frac{m{s}^{2}g}{4h}$．
    （3）弹簧的压缩量x与对应的钢球在空中飞行的水平距离S的实验数据如下表所示：
    弹簧长度压缩量x（cm）1.001.502.002.503.003.50
    钢球飞行水平距离S（m）1.011.502.012.483.013.50
    从上面的实验数据，请你猜测弹簧的弹性势能EP与弹簧长度的压缩量x之间的关系：EP与x2成正比．

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    B．质点在第l s内的平均速度为1.5m/s
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