Question

2．如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块足够大的平面感光板ab，板面与磁场方向平行，板上某点S′的正下方有一个点状的α放射源S，SS′的距离为l=16cm，放射源S向各个方向发射α粒子，速度大小都是v=3.0×10⁶ m/s，已知α粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷ C/kg．现只考虑在图示平面中运动的α粒子．求：
（1）α粒子运动的轨道半径r；
（2）通过作图，标出ab上被打中的区域，并求出其长度P₁P₂的大小；
（3）在磁场中运动时间最短的α粒子射出粒子源S的速度方向与SS′的夹角．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得粒子的半径r；
（2）利用求得的半径r，画出粒子打中板最左端和最右端的两个临界情况，根据几何关系，即可求得ab上被打中的区域的长度；
（3）找出粒子在磁场中运动时间最短的情况，画出轨迹过程图，利用几何关系，即可求出α粒子射出粒子源S的速度方向与SS′的夹角．

解答 解：（1）α粒子做匀速圆周运动，设轨道半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{3.0×1{0}^{6}}{5×1{0}^{7}×0.60}$=0.1m=10cm
（2）由于α粒子轨道半径确定，粒子源与ab板间距离确定，由图可得，α粒子只能打在P₁、P₂两点之间，

其中：左边轨迹圆恰与ab相切与P₂点，右边SP₁恰为直径，根据几何关系可得：
S′P₁=$\sqrt{（2r）^{2}-{l}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$cm=12cm
S′P₂=$\sqrt{{r}^{2}-（l-r）^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（16-10）^{2}}$cm=8cm
故ab上被打中的区域的长度为：P₁P₂=S′P₁+S′P₂=20cm
（3）当α粒子打到放射源正上方位置S′时，运动轨迹所对应的弦最短，即SS′最短，运动时间t最短，

由图可知：sinθ=$\frac{\frac{l}{2}}{r}$=$\frac{8}{10}$=0.8
可得：θ=53°
所以当α粒子与SS′方向成θ=53°射入磁场时，粒子在磁场中运动的时间最短．
答：（1）α粒子运动的轨道半径r为10cm；
（2）ab上被打中的区域如图所示，其长度P₁P₂的大小为20cm；
（3）在磁场中运动时间最短的α粒子射出粒子源S的速度方向与SS′的夹角为53°．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，第一、三问较为简单，第二问为定圆绕定点旋转模型，是一道易错题，解题的关键在于要找到打在板最左端和最右端的两个临界情况，值得注意的是：由于所有粒子均逆时针运动，没有顺时针运动的粒子，所以左右两端的临界几何条件并不对称，一端是直径，另一端是相切，切不可利用对称性先求一半再加倍．