Question

（2009?北京）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
（1）推导第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根据万有引力提供向心力即可求解．

解答：解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，
在地球表面附近满足 

G Mm R2 =mg

得    GM=R²g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力m

v 2 1

R

=G

Mm

R2

②
①式代入②式，得到v1=

Rg

故第一宇宙速度v₁的表达式为v1=

Rg

．
（2）卫星受到的万有引力为F=G

Mm

(R+h)2

=

mgR2

(R+h)2

    ③
由牛顿第二定律F=m

4π2

T2

(R+h)    ④
③、④联立解得T=

2π

R

(R+h)3 g

故卫星的运行周期T为

2π

R

(R+h)3 g

．

点评：卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解！