Question

如图所示存在范围足够大的磁场区，虚线OO′为磁场边界，左侧为竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B₁，右侧为竖直向上的磁感应强度为B₂的匀强磁场区，B₁=B₂=B．有一质量为m且足够长的U形金属框架MNPQ平放在光滑的水平面上，框架跨过两磁场区，磁场边界OO′与框架的两平行导轨MN、PQ垂直，两导轨相距L，一质量也为m的金属棒垂直放置在右侧磁场区光滑的水平导轨上，并用一不可伸长的绳子拉住，绳子能承受的最大拉力是F₀，超过F₀绳子会自动断裂，已知棒的电阻是R，导轨电阻不计，t=0时刻对U形金属框架施加水平向左的拉力F让其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动．
（1）求在绳未断前U形金属框架做匀加速运动t时刻水平拉力F的大小；绳子断开后瞬间棒的加速度．
（2）若在绳子断开的时刻立即撤去拉力F，框架和导体棒将怎样运动，求出它们的最终状态的速度．
（3）在（2）的情景下，求出撤去拉力F后棒上产生的电热和通过导体棒的电量．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律和牛顿第二定律求解．
（2）以后框架减速，棒向右加速，当两者速度大小相等时回路磁通量不再变化，一起匀速运动．由于框架和棒都是受安培力作用，且质量相等，所以任意时刻加速度大小相等．
（3）去拉力F后系统动能减少等于回路消耗电能，根据能量守恒定律求解．

解答：解：（1）t=0时刻对U形金属框架施加水平向左的拉力F让其从静止开始做加速度为a的匀加速直线运动．
对框架　v=at
感应电动势E=BLv=BLat
安培力　F_安=BIL=

B2L2at

R

根据牛顿第二定律得
F-F_安=ma
F=F_安+ma=ma+

B2L2at

R

绳子断开时刻绳子拉力　F₀=F_安
棒的加速度a=

F安

m

=

F0

m

（2）绳子断裂时刻F₀=

B2L2at

R

　t=

F0R

B2L2a

框架速度v₀=at=

F0R

B2L2

以后框架减速，棒向右加速，当两者速度大小相等时回路磁通量不再变化，一起匀速运动．由于框架和棒都是受安培力作用，且质量相等，所以任意时刻加速度大小相等，相等时间内速度变化的大小也相等，最终速度都是v，
v₀-v=v-0，
v=

v0

2

=

F0R

2B2L2

框架向左匀速，棒向右匀速．
（3）撤去拉力F后系统动能减少等于回路消耗电能，即棒上产生电热
Q=

1

2

m

v

2 0

-(

1

2

mv2+

1

2

mv2)=

1

4

mv

2 0

=

m F 2 0 R2

4B4L4

对棒　F_安=BIL=ma
a=

BIL

m

△t时间速度变化△v=a△t=

BIL

m

△t=

BL

m

△q 
速度由零增加到v过程
v=

BL

m

q=

v2

2

=

F0R

2B2L2

q=

mF0R

2B3L3

答：（1）在绳未断前U形金属框架做匀加速运动t时刻水平拉力F的大小是ma+

B2L2at

R

，绳子断开后瞬间棒的加速度是

F0

m

．
（2）若在绳子断开的时刻立即撤去拉力F，框架和导体棒将怎样运动，它们的最终状态是框架向左匀速，棒向右匀速．
（3）在（2）的情景下，撤去拉力F后棒上产生的电热是

m F 2 0 R2

4B4L4

，通过导体棒的电量是

mF0R

2B3L3

．

点评：本题考查了法拉第电磁感应定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等多个知识点，要注意的是该题中框架NP和金属棒所在的磁场方向相反，从而所受安培力方向相同．