Question

（18分）一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为m₁、m₂、m₃，且m₂=m₃= 2m₁．小球与槽的两壁刚好接触且不计所有摩擦。起初三个小球处于如图- 25所示的等间距的I、II、III三个位置，m₂、m₃静止，m₁以初速度沿槽运动，R为圆环内半径与小球半径之和。已知m₁以v₀与静止的m₂碰撞之后，m₂的速度大小为2v₀/3；m₂与m₃碰撞之后二者交换速度；m₃与m₁之间的碰撞为弹性碰撞：求此系统的运动周期T．

Answer 1

设经过与相碰，--------------------------------------①           (1分)

设与碰撞之后两球的速度分别为、在碰撞过程中由动量守恒定律得：

-------------------------------------------------------②          (2分)

因，求得   ，

方向与碰前速度方向相反.                (1分)

设经过与相碰，------------------------------------③          (1分)

设与碰撞之后两球的速度分别为、，因与在碰撞后交换速度

所以  ，                                        (1分)

由碰后速度关系知，与碰撞的位置在Ⅰ位置，设经过与相碰，

----------------------------------------------------------------------⑦           (1分)

设与碰撞后的速度分别为 ，，

由动量守恒和机械能守恒定律可得：

-------------------------------------⑧           (2分)

---------------------⑨           (2分)

联立⑤，⑥得：

或（舍）                                     (2分)

设碰后经回到Ⅱ位置，--------------------------------⑩          (1分)

至此，三个小球相对于原位置分别改变了120⁰，且速度与最初状态相同。故再经过两个相同的过程，即完成一个系统的运动周期。

                                          (4分)