Question

11．如图1所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B．有两根质量均为m的金属棒a和b与导轨垂直放置，a和b在两导轨间的电阻均为R，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放．当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x．试求：

（1）若b棒保持静止不动，则a棒释放的最大高度h₀．
（2）若将a棒从高度小于h₀的某处释放，使其以速度v₀进入磁场I，结果a棒以$\frac{{v}_{0}}{2}$的速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率P_b．
（3）若将a棒从高度大于h₀的某处释放，使其以速度v₁进入磁场I，经过时间t₁后a棒从磁场I穿出时的速度大小为$\frac{2{v}_{1}}{3}$，求此时b棒的速度大小，在如图2坐标中大致画出t₁时间内两棒的速度大小随时间的变化图象．

Answer 1

分析 （1）a棒从h₀高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒求得速度，根据法拉第电磁感应定律求得电动势，在求出安培力．
（2）流过电阻R的电量q=$\overline{I}$△t，求出电流，求出电功率．
（3）由于a棒从高度大于h₀处释放，因此当a棒进入磁场I后，b棒开始向左运动．由于每时每刻流过两棒的电流强度大小相等，两磁场的磁感强度大小也相等，所以两棒在各自磁场中都做变加速运动，且每时每刻两棒的加速度大小均相同．

解答 解：（1）a棒从h₀高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械守恒，有
$mg{h}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$
a棒刚进入磁场I时 E=BLv  
此时感应电流大小I=$\frac{E}{2R}$   
此时b棒受到的安培力大小 F=BIL 
依题意，有F=Kmg 
解得h₀=$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由于a棒从小于进入h₀释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止．
流过电阻R的电量q=$\overline{I}$△t
又$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{总}}$=$\frac{△∅}{{R}_{总}△t}$=$\frac{B△S}{{R}_{总}△t}$
所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量
q=$\frac{B△S}{{R}_{总}}$=$\frac{BLd}{2R}$
将要相碰时a棒的速度v=$\frac{{v}_{0}}{2}-\frac{{v}_{0}-\frac{{v}_{0}}{2}}{d}×\frac{d}{2}=\frac{{v}_{0}}{4}$
此时电流I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{8R}$  
此时b棒电功率 ${P}_{b}={I}^{2}R$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$ 
（3）由于a棒从高度大于h₀处释放，因此当a棒进入磁场I后，b棒开始向左运动．由于每时每刻流过两棒的电流强度大小相等，两磁场的磁感强度大小相等，所以两棒在各自磁场中都做变加速运动，且每时每刻两棒的加速大小均相同，
所以当a棒在t₁时间内速度改变（${v}_{1}-\frac{2}{3}{v}_{1}$）=$\frac{{v}_{1}}{3}$时，b棒速度大小也相应改变了$\frac{{v}_{1}}{3}$，
即此时b棒速度大小为$\frac{{v}_{1}}{3}$
两棒的速度大小随时间的变化图象大致右图所示：
  
答：（1）若b棒保持静止不动，则a棒释放的最大高度$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
（2）在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量$\frac{BLd}{2R}$和两棒即将相碰时b棒上的电功率$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$．
（3）经过时间t₁后a棒从磁场I穿出时的速度大小为$\frac{2{v}_{1}}{3}$，此时b棒的速度大小$\frac{{v}_{1}}{3}$，在t₁时间内两棒的速度大小随时间的变化图象如上图所示．

点评 本题考查了电磁感应中力学与功能问题，物理过程比较复杂，对于这类问题，理清解题的思路很重要．