Question

7．宇航员站在一行星表面，从高度H处以初速度V₀水平抛出一个小球．小球落地点与抛出点之间的水平距离为L．已知该行星的半径为R，引力常量为G．求：
（1）该行星的质量M；
（2）该行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球在星球表面做平抛运动，根据水平方向做匀速直线运动，竖直放置做自由落体运动求解重力加速度，再根据这个小球受的重力约等于行星给它的引力求解质量；
（2）行星表面附近绕行星做匀速圆周运动的物体受到的引力提供它的向心力，根据向心力公式求解第一宇宙速度．

解答 解：（1）该行星表面的重力加速度为g，由平抛运动规律：$H=\frac{1}{2}g{t^2}$
L=v₀t
解得：$g=\frac{{2H{v_0}^2}}{L^2}$
这个小球受的重力约等于行星给它的引力：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
可得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{2H{v_0}^2{R^2}}}{{G{L^2}}}$
（2）该行星表面附近绕行星做匀速圆周运动的物体受到的引力提供它的向心力$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：第一宇宙速度$v=\frac{v_0}{L}\sqrt{2HR}$
答：（1）该行星的质量M为$\frac{2H{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$；
（2）该行星的第一宇宙速度为$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2HR}$．

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．