Question

19．如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一竖直放置的光滑的平行金属导轨，导轨平面与磁场垂直，导轨间距为L，顶端接有阻值为R的电阻．将一根金属棒从导轨上的M处以速度v₀竖直向上抛出，棒到达N处后返回，回到出发点M时棒的速度为抛出时的一半．已知棒的长度为L，质量为m，电阻为r．金属棒始终在磁场中运动，处于水平且与导轨接触良好，忽略导轨的电阻．重力加速度为g．
（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，求：
a．电阻R消耗的电能；
b．金属棒运动的时间．
（2）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子的碰撞．已知元电荷为e．求当金属棒向下运动达到稳定状态时，棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小．

Answer 1

分析 （1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，动能减少转化为电能，根据能量守恒定律求电阻R消耗的电能．由于金属棒在运动过程中所受的安培力随着速度的变化而变化，做的是非匀变速运动，不能用运动学公式求时间，可运用动量定理和微元法结合求解．
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时重力的功率等于回路的电功率．根据电流的微观表达式I=neSv和金属棒生热功率公式P_r=（nSL）fv，结合进行解答．

解答 解：
（1）a．金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，由能量守恒
回路中消耗的电能  $Q=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m{（{\frac{v_0}{2}}）^2}=\frac{3}{8}mv_0^2$
电阻R消耗的电能  ${Q_R}=\frac{R}{R+r}•Q=\frac{3Rmv_0^2}{8（R+r）}$
b．方法一：
金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，取向下为正方向，由动量定理得：$mg•t+{I_安}=m•\frac{v_0}{2}-（{-m{v_0}}）$
将整个运动过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为△t．
则安培力的冲量 I_安=Bi₁L•△t+Bi₂L•△t+Bi₃L•△t+…I_安=BL（i₁•△t+i₂•△t+i₃•△t+…）I_安=BLq
又  $q=\overline It$，
$\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$，
$\overline E=\frac{△Φ}{t}$
因为△Φ=0，
所以I_安=0
解得  $t=\frac{{3{v_0}}}{2g}$
方法二：
金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，由动量定理$mg•t+{I_安}=m•\frac{v_0}{2}-（{-m{v_0}}）$
将整个运动过程划分成很多小段，可认为在每个小段中感应电动势几乎不变，设每小段的时间为△t．
则安培力的冲量${I_安}=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}{v_1}•△t+\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}{v_2}•△t+\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}{v_3}•△t+…$${I_安}=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}（{v_1}•△t+{v_2}•△t+{v_3}•△t+…）$
因为棒的位移为0，则  v₁•△t+v₂•△t+v₃•△t+…=0
所以  I_安=0
解得  $t=\frac{{3{v_0}}}{2g}$
方法三：
金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，由动量定理得 $mg•t+{I_安}=m•\frac{v_0}{2}-（{-m{v_0}}）$
棒的速度v随时间t变化的图象如图所示．

因为棒所受安培力${F_安}=BiL=\frac{{{B^2}{L^2}}}{R+r}•v∝v$
所以棒所受安培力F_安随时间t变化的图象亦大致如此．
棒的位移为0，则v-t图线与横轴所围“总面积”为0，F_安-t图线与横轴所围“总面积”也为0，即整个过程中安培力的冲量I_安=0．
解得  $t=\frac{{3{v_0}}}{2g}$
（2）方法一：
当金属棒向下运动达到稳定状态时  mg=F_m
其中  ${F_m}=\frac{{{B^2}{L^2}{v_m}}}{R+r}$
解得  ${v_m}=\frac{{mg（{R+r}）}}{{{B^2}{L^2}}}$
沿棒方向，棒中自由电子受到洛伦兹力ev_mB、电场力eE和金属离子对它的平均作用力f作用．因为棒中电流恒定，所以自由电子沿棒的运动可视为匀速运动．
则  f+eE=ev_mB
又  $E=\frac{U}{L}$$U=\frac{{BL{v_m}}}{R+r}•R$
解得  $f=\frac{emgr}{{B{L^2}}}$
方法二：
当金属棒向下运动达到稳定状态时
单位时间内机械能减少  P=mgv_m
金属棒生热功率  P_r=$\frac{r}{R+r}P$
回路中的电流  $I=\frac{{BL{v_m}}}{R+r}$
设棒的横截面积为S，棒中单位体积内的自由电子数为n，棒中自由电子定向移动的速度为v，金属离子对自由电子的平均作用力为f．
则  P_r=（nSL）fv，I=neSv．
所以  $f=\frac{emgr}{{B{L^2}}}$
答：
（1）金属棒从M点被抛出至落回M点的整个过程中，a．电阻R消耗的电能为$\frac{3Rm{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$；b．金属棒运动的时间为$\frac{3{v}_{0}}{2g}$．
（2）当金属棒向下运动达到稳定状态时，棒中金属离子对一个自由电子沿棒方向的平均作用力大小为$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$．

点评 解决本题的关键是学会运用微元法求变加速运动的时间，掌握金属棒稳定的条件，理解宏观与微观联系的桥梁是电流的微观表达式．