Question

20．木卫一是最靠近木星的卫星，丹麦天文学家罗迈早在十七世纪通过对木卫一的观测测出了光速．他测量了木卫一绕木星的运动周期T和通过木星影区的时间t．若已知木星的半径R和万有引力恒量G，T远小于木星绕太阳的运行周期，根据以上条件可以求出（　　）

• A． 木星的密度
• B． 木卫一的密度
• C． 木卫一绕木星运动的向心加速度大小
• D． 木卫一表面的重力加速度大小

Answer 1

分析 根据木卫一绕木星的运动周期T和通过木星影区的时间t，计算走影区对应的圆心角，进而到木卫一的轨迹半径，从而求得中心天体质量和圆周运动的加速度．

解答 解：A、B、如图：通过木星影区的时间t，周期为T，则：$\frac{θ}{2π}=\frac{t}{T}$，解得：$θ=\frac{t}{T}2π$，而：$\frac{R}{r}=sin\frac{θ}{2}=sin\frac{tπ}{T}$，解得：$r=\frac{R}{sin\frac{πt}{T}}$，
根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{πt}{T}}$，可求得中心天体的质量，球体体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，可得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{πt}{T}}$，故A正确，B错误；
C、根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}sin\frac{πt}{T}}$，故C正确；
D、公式只能计算中心天体的物理量，故D错误；
故选：AC

点评 本题关键是根据木星的卫星做圆周运动的向心力有万有引力提供，列出方程，分析方程式即可看出要测量的量．