Question

16．如图所示，倾角θ=30°的光滑倾斜导体轨道（足够长）与光滑水平导体轨道连接，轨道宽度均为L=1m，电阻忽略不计．匀强磁场I仅分布在水平轨道平面所在区域，方向水平向右，大小B₁=1T，匀强磁场II仅分布在倾斜轨道平面所在区域，方向垂直于倾斜轨道平面向下，大小B₂=2T，现将两质量均为m=0.4kg，电阻均为R=0.5Ω的相同导体棒ab和cd，垂直于轨道分别置于水平轨道上和倾斜轨道上，并同时由静止释放，g=10m/s²．
（1）求导体棒cd沿倾斜轨道下滑的最大速率及此时水平轨道对ad棒的支持力大小；
（2）若已知从开始运动到cd棒达到最大速度的过程中，ab棒产生的焦耳热Q=0.45J，求该过程中通过cd棒横截面的电荷量；
（3）若已知cd棒开始运动时距水平轨道高度h=10m，cd棒由静止释放后，为使cd棒无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化，将cd棒开始运动的时刻记为t=0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度B₀=2T，试求cd棒在倾斜轨道上下滑的这段时间内，磁场Ⅱ的磁感应强度B随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）从静止释放金属棒a，先做加速运动，随着速度增大，棒产生的感应电动势和感应电流增大，合力减小，加速度减小，由于导轨的倾斜部分足够长，所以金属棒在进入水平轨道前做匀速运动，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式和平衡条件求出匀速运动时的速度．
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流计算公式求出电荷量．
（3）为使cd棒中无感应电流，磁通量应不变．由磁通量的计算公式、运动学公式结合分析答题．

解答 解：（1）cd棒匀速运动时速度最大，设为v_m，棒中感应电动势为E，电流为I，
感应电动势为：E=B₂Lv_m，
电流为：I=$\frac{E}{2R}$
由平衡条件得：mgsinθ=B₂IL
代入数据解得：v_m=0.5m/s；
由右手定则，感应电流顺时针，再根据左手定则，ab棒受到的安培力竖直向下，
${I}_{m}^{\;}=\frac{{B}_{2}^{\;}L{v}_{m}^{\;}}{2R}=\frac{2×1×0.5}{2×0.5}=1A$
对ab棒：${F}_{N}^{\;}=mg+{B}_{1}^{\;}{I}_{1m}^{\;}L=4+1×1×1=5N$
（2）设cd从开始运动到达最大速度的过程中经过的时间为t，通过的距离为x，cd棒中平均感应电动势为E₁，平均电流为I₁，通过cd棒横截面的电荷量为q，
由能量守恒定律得：mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+2Q，
代入数据解得：$x=\frac{0.95}{2}m$
电动势为：${E}_{1}^{\;}={B}_{2}^{\;}L\frac{x}{t}$，
电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}^{\;}}{2R}$，
电荷量为：q=I₁t，
即$q=\frac{{B}_{2}^{\;}Lx}{2R}$
代入数据解得：q=0.95C；
（3）设cd棒开始运动时穿过回路的磁通量为Φ₀，cd棒在倾斜轨道上下滑的过程中，设加速度大小为a，经过时间t通过的距离为x₁，穿过回路的磁通量为Φ，cd棒在倾斜轨道上下滑时间为t₀，则：Φ₀=B₀L$\frac{h}{sinθ}$
加速度为：a=gsinθ，
位移为：x₁=$\frac{1}{2}$at²
磁通量为：Φ=BL（$\frac{h}{sinθ}$-x₁），$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$at₀²
解得：t₀=$\sqrt{8}$s，
为使cd棒中无感应电流，必须有：Φ₀=Φ，
解得：B=$\frac{16}{8-{t}_{\;}^{2}}$T （t＜$\sqrt{8}$s）；
答：（1）导体棒cd沿斜轨道下滑的最大速度的大小为1m/s此时水平轨道对ad棒的支持力大小5N；
（2）该过程中通过cd棒横截面的电荷量为1C；
（3）磁场Ⅱ的磁感应强度B随时间t变化的关系式为B=$\frac{16}{8-{t}_{\;}^{2}}$T （t＜$\sqrt{8}$s）．

点评 本题分析时，一定要注意题中条件：导轨的倾斜部分和水平部分都足够长，分析知道在斜轨上棒最终匀速运动，在水平轨道上最终静止，再运用电磁感应的规律和力学知识求解．