Question

11．2015年，科学家发现了一个多星系统的“婴儿期”，多星系统是宇宙中比较少见的系统．科学家猜想有一种五星系统，是由五颗质量均为m的星体组成，其中四颗在一个边长为l的正方形的四个角上围绕第五颗星转动（转动可视为匀速圆周运动），第五颗星则在这个正方形的中心处，如图．假设五星系统离其他恒星较远，可忽略其他星体对五星系统的引力作用．（万有引力常量G已知）求：
（1）A星受到其余四颗星体的引力的合力
（2）A星围绕O星转动的周期．

Answer 1

分析 在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它四颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据合力提供向心力，求出星体匀速圆周运动的周期．

解答 解：星体在其他四个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，四颗星的轨道半径为r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l．
F_AC=F_AB=$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$
F_AD=$\frac{1}{4}$F_AO=$\frac{G{m}^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{G{m}^{2}}{2{l}^{2}}$，
则合力F=$\sqrt{2}{F}_{AB}$+F_AD+F_AO=$\sqrt{2}$$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$+4•$\frac{G{m}^{2}}{2{l}^{2}}$+$\frac{G{m}^{2}}{2{l}^{2}}$=（$\sqrt{2}$+$\frac{5}{2}$）$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$，
根据合力充当向心力：（$\sqrt{2}$+$\frac{5}{2}$）$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}l$
解得T=$\sqrt{\frac{4\sqrt{2}{π}^{2}{l}^{3}}{（5+2\sqrt{2}）GM}}$．
答：（1）A星受到其余四颗星体的引力的合力为（$\sqrt{2}$+$\frac{5}{2}$）$G\frac{{m}^{2}}{{l}^{2}}$；

（2）A星围绕O星转动的周期为$\sqrt{\frac{4\sqrt{2}{π}^{2}{l}^{3}}{（5+2\sqrt{2}）GM}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．