Question

12．如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量为m，斜面倾角α=30°，悬线与竖直方向夹角θ=30°，斜面体的质量M=3m，置于粗糙水平地面上．（g=10m/s²）求：
（1）当斜面体静止时，求细绳对小球拉力的大小．
（2）求斜面体静止时，地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
（3）若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终处于静止状态，k值必须满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，正交分解，根据平衡条件列方程求解绳子拉力；
（2、3）以小球与劈整体为研究对象，由力的平衡条件列方程，求出地面对斜面体的摩擦力的大小和方向，结合数学知识求解k的最小值．

解答 解：（1）选小球为研究对象，受力分析并合成如图：

由平衡条件：F′=mg
由平面几何知识可得：N与F′夹角为30°，T与F′夹角也为30°
故画出的平行四边形为菱形，连接对角线便可找出直角三角形：
由：cos30°=$\frac{\frac{G}{2}}{T}$
得：T=$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$
（2）、（3）选小球和斜面组成的系统为研究对象，受力分析如图，

由平衡条件得：
N+Tcos30°=（M+
解得：N=（M+m）g-$\frac{mg}{2}$=Mg+$\frac{mg}{2}$=3.5mg
水平方向上：f=Tsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}mg$，方向水平向左．
为了使整个系统始终处于静止状态，则最大静摩擦力f_max≥f
所以kN≥f
解得：k≥$\frac{\sqrt{3}}{21}$
答：（1）当斜面体静止时，细绳对小球拉力的大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$；
（2）地面对斜面体的摩擦力的大小为$\frac{\sqrt{3}}{6}mg$，方向水平向左；
（3）为了使整个系统始终处于静止状态，k值必须满足k≥$\frac{\sqrt{3}}{21}$．

点评 对小球和斜面进行受力分析，运用力的合成或分解结合共点力平衡条件解决问题．选择好合适的研究对象有事半功倍的效果．