Question

3．如图，一对平行金属板水平放置，板间距为d，上极板始终接地．长度为$\frac{d}{2}$、质量均匀的绝缘杆，上端可绕上板中央的固定轴O在竖直平面内转动，下端固定一带正电的轻质小球，其电荷量为q．当两板间电压为U₁时，杆静止在与竖直方向OO′夹角θ=30°的位置；若两金属板在竖直平面内同时绕O、O′顺时针旋转α=15⁰至图中虚线位置时，为使杆仍在原位置静止，需改变两板间电压．假定两板间始终为匀强电场．求：
（1）绝缘杆所受的重力G；
（2）两板旋转后板间电压U₂．
（3）求前后两种情况中带电小球的电势能W₁与W₂．

Answer 1

分析 （1）杆静止时力矩平衡，根据重力力矩与电场力矩相平衡，即可求解；
（2）转动后，再次使用重力力矩与电场力矩相平衡，即可求解；
（3）根据电场强度变化，导致零电势能面变化，则小球的电势能也改变，再根据W=qU，即可求解．

解答 解：（1）设杆长为L，杆受到的重力矩与球受到的电场力矩平衡，则有
G$\frac{L}{2}$sin30°=q$\frac{{U}_{1}}{d}$Lsin30°
解得：G=$\frac{2q{U}_{1}}{d}$
（2）金属板转过α角后，有：E=$\frac{{U}_{2}}{dcos15°}$
同样满足力矩平衡，有：G$\frac{L}{2}$sin30°=$\frac{q{U}_{2}}{dcos15°}$Lsin45°
联立解得：U₂=$\frac{sin30°cos15°}{sin45°}$U₁=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$U₁．
（3）金属板转动前：U₁′=$\frac{Lcos30°}{d}{U}_{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}{U}_{1}$
带电小球的电势能为：W₁=qU₁′=$\frac{\sqrt{3}}{4}$qU₁．
金属板转动后有：U₂′=$\frac{Lcos45°}{dcos15°}$U₂=$\frac{1}{4}$U₁
带电小球的电势能为：W₂=qU₂′=$\frac{1}{4}$qU₁．
答：（1）绝缘杆所受的重力G是$\frac{2q{U}_{1}}{d}$；
（2）两板旋转后板间电压U₂是$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$U₁．
（3）前后两种情况中带电小球的电势能W₁与W₂分别为$\frac{\sqrt{3}}{4}$qU₁和$\frac{1}{4}$qU₁．

点评 本题考查了力矩平衡的应用，关键要掌握电势能与零电势能面的关系，理解电场力做功表达式W=qU，要注意板间距离的变化．