Question

3．如图所示为固定在水平地面上的顶角为α的圆锥体，其表面光滑．有一质量为m、长为L的链条静止在圆锥体的表面上，已知重力加速度为g，若圆锥体对圆环的作用力大小为F，链条中的张力为T，则有（　　）

• A． F=mg
• B． F=$\frac{mg}{sin\frac{α}{2}}$
• C． T=$\frac{mg}{πtan\frac{α}{2}}$
• D． T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$

Answer 1

分析 对圆环受力分析，根据共点力平衡求出圆锥体对圆环的作用力大小，取软绳中很小的一段质量元进行分析，根据受力分析可求得张力与合力的关系；再由共点力的平衡条件可明确合力与重力之间的关系，联立可求得张力T．

解答 解：A、因为圆环受重力和圆锥体对圆环的作用力处于平衡，则圆锥体对圆环的作用力等于圆环的重力，即F=mg．故A正确，B错误；
C、设质量元△m两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆心角θ很小，所以sinθ等价于θ，即：则F=2Tsin（$\frac{θ}{2}$）=Tθ，
质量元受重力△mg、支持力N和张力的合力F而处于平衡状态，由几何知识可得：
F=△mgcot（$\frac{α}{2}$）=$\frac{θ}{2π}m$gcot（$\frac{α}{2}$）
联立解得：T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$，故C错误，D正确．
故选：AD

点评 本题采用微元法进行分析，要注意明确绳上的张力与弹力之间的关系；并能正确根据共点田力的平衡进行分析求解，难度较大