Question

8．如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道CDE在竖直平面内与光滑水平轨道AC相切于C点，水平轨道AC上有一轻质弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上．现用一个小球将弹簧压缩（不栓接），当弹簧的压缩量为l时释放质量为m的小球．小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E，再次在B点用该小球压缩弹簧，当弹簧的压缩量为2l时释放小球，小球再次沿轨道运动到E点．试求小球第二次到达轨道最高点E时，小球与轨道间的相互作用力F的大小．已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，弹簧压缩时始终处在弹性限度内．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求得第一次在E的速度，然后由动能定理求得弹性势能；再根据弹性势能和压缩量的关系求得第二次弹性势能，即可由动能定理求得在E点的速度，最后由牛顿第二定律求得作用力．

解答 解：当弹簧的压缩量为l时释放质量为m的小球．小球在运动过程中恰好通过半圆形轨道的最高点E，那么对小球在E点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{E1}}^{2}}{R}$；
对小球运动到E的过程应用动能定理可得：${E}_{p1}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{E1}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
解得：${E}_{p1}=\frac{5}{2}mgR$；
当弹簧的压缩量为2l时，由弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比可知弹性势能为：
${E}_{p2}={2}^{2}{E}_{p1}=10mgR$；
那么，对小球运动到E的过程应用动能定理可得：${E}_{p2}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{E2}}^{2}$
解得：${v}_{E2}=4\sqrt{gR}$；
故对小球在E点应用牛顿第二定律可得：$F+mg=\frac{m{{v}_{E2}}^{2}}{R}=16mg$
所以，小球第二次到达轨道最高点E时，小球与轨道间的相互作用力F的大小F=15mg；
答：小球第二次到达轨道最高点E时，小球与轨道间的相互作用力F的大小为15mg．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．