Question

1．电动机带动滚轮匀速转动，在滚轮的作用下，将金属杆从最底端A送往倾角θ=30°的足够长斜面上部．滚轮中心B与斜面底部A的距离为L=6.5m，当金属杆的下端运动到B处时，滚轮提起，与杆脱离接触．杆由于自身重力作用最终会返回斜面底部，与挡板相撞后，立即静止不动．此时滚轮再次压紧杆，又将金属杆从最底端送往斜面上部，如此周而复始．已知滚轮边缘线速度恒为=4m/s，滚轮对杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与杆间的动摩m=1×10³Kg，不计杆与斜面间的摩擦，取g=10m/s²． 求：
（1）在滚轮的作用下，杆加速上升的加速度；
（2）杆加速上升至与滚轮速度相同时前进的距离；
（3）每个周期中滚轮对金属杆所做的功；
（4）杆往复运动的周期．

Answer 1

分析 （1）对杆进行受力分析，杆在重力、支持力、滚轮压力和摩擦力作用下产生加速度，求出物体所受合力，由牛顿第二定律可以得加速度a；
（2）由加速度和杆运动的末速度、初速度，由速度位移关系公式求杆加速上升至与滚轮速度相同时前进的距离；
（3）轮分两个过程对杆做功，在两个过程中根据动能定理可求出轮对杆所做的功W；
（4）把杆的运动分成三段，一是在滑动摩擦力作用下的匀加速运动，二是在静摩擦力作用下的匀速运动，三是重力沿斜面向下分力作用下的匀减速直线运动，分三段运动求杆运动的时间即可．

解答 解：（1）对杆进行受力分析：杆受重力G、斜面对杆的支持力F₁，滚轮对杆的压力F_N和滚轮对杆沿斜面向上的摩擦力f，四个力作用．建立直角坐标系，如图，根据牛顿第二定律得：
μF_N-mgsinθ=ma          
代入数据解得：a=2m/s²
（2）杆加速上升至与滚轮速度相同时前进的距离为：s=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×2}$m=4m                            
（3）因为s＜L，所以金属杆先匀加速4米，后匀速2.5米．
对两个过程，分别运用动能定理得：
W₁-mgsinθs=$\frac{1}{2}$mv²             
W₂-mgsinθs′=0                    
每个周期中滚轮对金属杆所做的功为：W=W₁+W₂．
联立解得：W=4.05×10⁴J               
（4）匀加速运动的时间为：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{4}{2}$=2s                             
匀速向上的时间为：t₂=$\frac{L-s}{v}$=$\frac{6.5-4}{4}$=0.625s                  
后向下做匀加速运动的加速度为：a′=gsinθ          
由L=v₀t₃-$\frac{1}{2}$at²₃                   
得 t₃=2.6s　                       
所以杆往复运动的周期 T=t₁+t₂+t₃；
解得  T=5.225s         
答：（1）在滚轮的作用下，杆加速上升的加速度是2m/s²；
（2）杆加速上升至与滚轮速度相同时前进的距离是4m；
（3）每个周期中电动机对金属杆所做的功是4.05×10⁴J；
（4）杆往复运动的周期是5.225s．

点评 解决本题的关键理清杆子在整个过程中的运动情况，分析受力情况，分段结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．