Question

18．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB与水平面BC平滑连接于B点，BC右端连接内壁光滑、半径r=0.2m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方直立一根劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D端平齐．一个质量为1kg的小球放在曲面AB上，现从距BC的高度为h=0.6m处静止释放小球，它与BC间的动摩擦因数μ=0.5，小球进入管口C端时，它对上管壁有F_N=2.5mg的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能为E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球在C处受到的向心力大小；
（2）BC间距离s；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km．

Answer 1

分析 （1）通过受力分析得到竖直方向的合外力即向心力；
（2）由向心力求得速度，再对AC运动过程应用动能定理即可求解；
（3）根据速度最大时受力平衡求得弹簧压缩量（由弹性势能亦可求），再对下落过程应用动能定理即可求解．

解答 解：（1）小球进入管口C端时，它与圆管上管壁有大小为F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力为：
F_向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10 N=35N；
（2）在C点应用牛顿第二定律有：
${F_向}=m\frac{v_C^2}{r}$；
小球从A点运动到C点过程，只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：
$mgh-μmgs=\frac{1}{2}mv_C^2$=$\frac{1}{2}{F}_{向}r=\frac{7}{4}mgr$；
所以有：$s=\frac{h-\frac{7}{4}r}{μ}=0.5m$；
（3）在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零．设此时小球离D端的距离为x₀，则有 kx₀=mg
所以，${x}_{0}=\frac{mg}{k}=0.1m$；
小球下落过程只有重力、弹簧弹力做功，故机械能守恒，则由机械能守恒定律有：
$mg（r+{x}_{0}）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}={E}_{km}+{E}_{p}$；
所以，${E}_{km}=mg（r+{x}_{0}）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-{E}_{p}$=$mg（r+{x}_{0}）+\frac{1}{2}{F}_{向}r-{E}_{p}=6J$；
答：（1）小球在C处受到的向心力大小为35N；
（2）BC间距离s为0.5m；
（3）在压缩弹簧过程中小球的最大动能E_km为6J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．