Question

4．我国的“探月工程”计划于2017年宇航员登上月球．若宇航员登月前测得贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船飞行一周的时间为T；登上月球后，该宇航员以初速度v₀竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t，求：
（1）月球表面重力加速度g_月的大小；
（2）月球的半径R_月．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做竖直上抛运动，由t=$\frac{{2v}_{0}}{{g}_{月}}$求出月球表面的重力加速度，
（2）物体在月球表面上时，根据重力等于万有引力列出等式联立求解月球的半径R_月．

解答 解：（1）质量为m′的小球在月球上做竖直上抛，根据运动学规律有：
t=$\frac{{2v}_{0}}{{g}_{月}}$，
所以月球表面重力加速度为：
g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）飞船靠近月球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{月}m}{{R}_{\;}^{2}}=m{R}_{\;}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
物体在月球表面上时，根据重力等于万有引力列出等式：
$m′{g}_{月}=G\frac{{M}_{月}•m′}{{R}_{\;}^{2}}$
由以上各式可求得：${R}_{\;}=\frac{{v}_{0}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}$．
答：（1）月球表面重力加速度g_月的大小是$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）月球的半径R_月是$\frac{{v}_{0}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}$．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．
重力加速度g是联系物体运动和天体运动的桥梁．