Question

如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．不计空气阻力．
试求：
（1）当m在A点时，弹簧的弹性势能的大小；
（2）物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小；
（3）如果半圆形轨道也是光滑的，其他条件不变，当物体由A经B运动到C，然后落到水平面，落点为D（题中D点未标出，且水平面足够长），求D点与B点间距离．

Answer 1

分析：（1）研究物体经过B点的状态，根据牛顿运动定律求出物体经过B点的速度，得到物体的动能，物体从A点至B点的过程中机械能守恒定律，弹簧的弹性势能等于体经过B点的动能；
（2）物体恰好到达C点时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出C点的速度，物体从B到C的过程，运用动能定理求解克服阻力做的功；
（3）物体离开轨道后做平抛运动，运用运动的合成和分解法求出物体离开C点后落回水平面时的水平位移的大小．

解答：解：（1）物块在B点时，由牛顿第二定律得：FN-mg=m

v 2 B

R

  F_N=7mg
在物体从A点到B点的过程中，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能：Ep=

1

2

m

v

2 B

联立以上三式得：Ep=3mgR
（2）物体到达C点仅受重力mg，根据牛顿第二定律有mg=m

v 2 c

R

物体从B点到C点只有重力和阻力做功，根据动能定理有：W阻-mg×2R=

1

2

mvC2-

1

2

m

v

2 B

，
解得W_阻=-0.5mgR
物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小为0.5mgR
（3）在物体从B点到C点的过程中，根据动能定理有：-mg×2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

，
解得    vC=

2gR

由C点到D点，物体做平抛运动，有：
水平方向：X_BD=v_Ct
竖直方向：2R=

1

2

gt2
解得：XBD=2

2

R
答：（1）弹簧的弹性势能的大小为3mgR；
（2）物块m从B点运动到C点克服阻力做的功的大小为0.5mgR；
（3）D点与B点间距离XBD=2

2

R．

点评：本题的解题关键是根据牛顿第二定律求出物体经过B、C两点的速度，再结合动能定理、平抛运动的知识求解．