Question

图（a）所示的装置中，小物块AB质量均为m，水平面上PQ段长为l，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑．初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（AB间距大于2r）．随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆做水平运动，滑杆的速度-时间图象如图（b）所示．A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞．

（1）求A脱离滑杆时的速度v₀，及A与B碰撞过程的机械能损失△E．
（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t₁，求ω的取值范围，及t₁与ω的关系式．
（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为E_p，求ω的取值范围，及E_p与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）．

Answer 1

分析：（1）滑杆达到最大速度时A与其脱离，则v₀=ωr，碰撞过程中动量守恒，根据动量守恒定律求出碰撞后的速度，碰撞过程中的机械能损失等于初动能减去末动能；
（2）若AB不与弹簧相碰，P到Q过程，由动能定理即可求解AB运动到Q点的连杆角速度，进而求出范围，再由运动学基本公式求解时间；
（3）若AB压缩弹簧后反弹，由动能定理联立方程即可求得AB刚好反弹回P点的连杆角速度，进而求出范围，再由功能关系即可求解．

解答：（1）滑杆达到最大速度时A与其脱离．由题意，得：
v₀=ωr…①
设AB碰撞后的共同速度为v₁，由动量守恒定律
mv₀=2mv₁…②
碰撞过程中的机械能损失为
△E=

1

2

mv02-

1

2

（2m）v₁²…③
△E=

1

4

mω²r²…④
（2）若AB不与弹簧相碰，P到Q过程，由动能定理，得
μ（2m）gl=

1

2

（2m）v₁²…⑤
联立①②⑤，得对应AB运动到Q点的连杆角速度ω₁
ω₁=

2 2μgl

r

…⑥
ω的取值范围：0＜ω≤

2 2μgl

r

…⑦
设AB在PQ段加速度大小为a，由运动学规律，得：
v₁=at₁…⑧
μ（2m）g=2ma…⑨
联立①②⑧⑨，得：
t₁=

ωr

2μg

，（0＜ω≤

2 2μgl

r

）
（3）若AB压缩弹簧后反弹，由动能定理，得：
μ（2m）g（l+l）=

1

2

（2m）v₁²
联立①②，得对应AB刚好反弹回P点的连杆角速度ω₂
ω₂=

4 μgl

r

ω的取值范围：

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

由功能关系：E_p=

1

2

（2m）v₁²-μ（2m）gl
得：E_p=

1

4

mω²r²-2μmgl，（

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

）
答：（1）A脱离滑杆时的速度为ωr，A与B碰撞过程的机械能损失△E为=

1

4

mω²r²．
（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为t₁，ω的取值范围为0＜ω≤

2 2μgl

r

，t₁与ω的关系式为t₁=

ωr

2μg

，（0＜ω≤

2 2μgl

r

）．
（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为E_p，ω的取值范围为

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

，E_p与ω的关系式为E_p=

1

4

mω²r²-2μmgl，（

2 2μgl

r

＜ω≤

4 μgl

r

）（弹簧始终在弹性限度内）．

点评：本题主要考查了动能定理、功能关系、动量守恒定律及运动学基本公式的应用，计算量大，难度很大．