Question

13．某一星球表面的重力加速度为g，它的半径为R．在距该星球表面距离为R处有一质量为m的卫星绕该星球做匀速圆周运动，
求：（1）该星球的第一宇宙速度； 
（2）该卫星运动的周期．

Answer 1

分析 （1）卫星绕星球表面运行，即卫星轨道半径等于星球半径时的速度是地球的第一宇宙速度；
（2）卫星绕星球做圆周运动的向心力由星球对它的万有引力提供列出等式求解．

解答 解：（1）第一宇宙速度即为星球表面圆周运动的速度，由牛顿第二定律可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
且GM=gR²
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$
（2）卫星离地面为h时，做圆周运动的向心力由星球对它的万有引力提供列出等式$\frac{GMm}{（R+R）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}（R+R）}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{8{R}^{3}}{GM}}$=2$π\sqrt{\frac{8R}{g}}$
答：（1）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{gR}$ 
（2）卫星运行的周期为2$π\sqrt{\frac{8R}{g}}$．

点评 本题考查了求地球的第一宇宙速度，知道第一宇宙速度的概念、熟练应用万有引力公式及向心力公式即可正确解题．