Question

12．有一直角三角形OAC，OC长为12cm，∠C=30°，AC上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B₁=1T，OA左侧也存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B₂未知，一质量为m=8×10^-10kg、电荷量q=1×10^-4C的带正电粒子从C点以垂直于OC的速度v进入磁场，恰好经A点到达O点，不计粒子重力，求：
（1）未知匀强磁场的磁感应强度B₂的大小；
（2）粒子在磁场中从C点经A点到达O点运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场B₁中做匀速圆周运动，画出运动的轨迹，画出运动的轨迹，由几何关系求出半径，然后由洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律得出磁场B₂的大小；
（2）由周期公式与偏转角度之间的关系即可求出时间．

解答 解：（1）粒子在磁场B₁中做匀速圆周运动，画出运动的轨迹如图，其圆心为O₁，设轨迹半径为r₁，则∠O₁AC=∠O₁CA=30°

所以：∠AO₁O=2∠O₁CA=60°，粒子的偏转角是120°
由几何关系得：r₁+r₁cos60°=$\overline{OC}$
所以：r₁=$\frac{2}{3}\overline{OC}$=$\frac{2}{3}$×12cm=8cm
由洛伦兹力提供向心力得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
所以：v=$\frac{q{B}_{1}{r}_{1}}{m}$=1.0×10⁴m/s
粒子在磁场B₂中做匀速圆周运动，画出运动的轨迹如图，其圆心为O₂，设轨迹半径为r₂，则
$\overline{AO}$=2r₂•cos∠OAO₁=2r₂•cos30°=$\sqrt{3}$r₂
所以：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\overline{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\overline{OC}•$tan30°=$\frac{1}{3}$×12cm=4cm
由洛伦兹力提供向心力得：qvB₂=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{2}}$
所以：B₂=$\frac{mv}{q{r}_{2}}$
代入数据得：B₂=2T
（2）粒子在磁场B₁中运动的周期：T₁=$\frac{2π{r}_{1}}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$
由偏转角与偏转时间的关系得：t₁=$\frac{120°}{360°}$T₁=$\frac{2πm}{3q{B}_{1}}$
粒子在磁场B₁中运动的周期：T₂=$\frac{2π{r}_{2}}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$
由图可知，粒子 在磁场B₂中偏转的角度也是120°
所以：t₂=$\frac{1}{3}$T₂=$\frac{2πm}{3q{B}_{2}}$
粒子在磁场中运动的总时间：t=t₁+t₂
代入数据得：t=8π×10^-6s
答：
（1）未知匀强磁场的磁感应强度B₂的大小是2T；
（2）粒子在磁场中运动的总时间是8π×10^-6s．

点评 考查带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的过程中，用牛顿第二定律与运动学公式，并结合几何关系来处理这两种运动，强调并突出准确的运动轨迹图．