Question

9．如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的　AC端连接一个阻值为　R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计．（g=10m/s²）
（1）从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度
（2）若金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑到最大速度时，通过位移为x₀，求出在此过程中通过电阻R的电荷量为多少？
（3）若金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑到最大速度时，通过位移为x₀，求出在此过程中磁场对金属棒ab所做的功．

Answer 1

分析 （1）金属棒下滑时切割磁感线运动，产生感应电动势，产生感应电流，受到沿斜面向上的安培力，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为0时，速度最大．由平衡条件和安培力与速度的关系式结合解答．
（2）求出磁通量的变化量△Φ，即可由q=$\frac{△Φ}{R}$求出通过电阻R的电量．
（3）下滑过程中，金属棒的重力势能减小，动能增加，内能增加，根据能量守恒求出整个电路产生的热量，从而求出电阻R上产生的热量．即得到磁场对金属棒ab所做的功．

解答 解：（1）金属棒向下做加速度减小的加速运动，当加速度a=0时，速度达到最大．有：
mgsinθ-μmgcosθ=F_A
又安培力为：F_A=BIL
感应电流为：I=$\frac{BL{v}_{m}^{2}}{R}$
联立以上三式得：v_m=$\frac{（mgsinθ-μmgcodsθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）通过位移为x₀的过程中磁通量的增加量为：△Φ=BLx₀．
通过电阻R的电量为：
q=$\overline{I}△t$=$\frac{\overline{E}}{R}$△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BL{x}_{0}}{R}$
（3）根据能量守恒得：
mgx₀sinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q+μmgcosθx₀；
所以整个回路产生的焦耳热为：
Q=mgx₀sinθ-μmgcosθx₀-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=mgx₀sinθ-μmgcosθx₀-$\frac{{{m}^{3}g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
由功能关系可得：在此过程中磁场对金属棒ab所做的功为：
W=-Q=$\frac{{{m}^{3}g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgx₀sinθ+μmgcosθx₀．
答：（1）从静止开始沿导轨下滑，此过程中ab棒的最大速度为$\frac{（mgsinθ-μmgcodsθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）通过电阻R的电量为$\frac{BL{x}_{0}}{R}$．
（3）在此过程中磁场对金属棒ab所做的功为$\frac{{{m}^{3}g}^{2}（sinθ-μcosθ）^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$-mgx₀sinθ+μmgcosθx₀．

点评 解决本题的关键掌握运用动力学分析金属棒的运动，知道当加速度为零时，速度最大．以及会灵活运用能量守恒定律和掌握电量的公式．