Question

如图是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成：水平直轨AB，半径分别为R₁=1.0m和R₂=3.0m的弧形轨道，倾斜直轨CD长为L=6m，AB、CD与两圆形轨道相切，其中倾斜直轨CD部分表面粗糙，动摩擦因数为μ=

1

6

，其余各部分表面光滑．一质量为m=2kg的滑环（套在滑轨上），从AB的中点E处以v₀=10m/s的初速度水平向右运动．已知θ=37°，（g取10m/s²）求：
（1）滑环第一次通过O₂的最低点F处时对轨道的压力；
（2）滑环通过O₁最高点A的次数；
（3）滑环克服摩擦力做功所通过的总路程．

Answer 1

分析：（1）从E到F过程中，由机械能守恒可求得F点的速度，再由向心力公式可求得F处轨道的支持力，再由牛顿第三定律可求得滑环对轨道的压力；
（2）滑环在CD轨道上运动时，由于克服摩擦力做功而减小动能，产生内能；由能量守恒定律可求得通过最点高的次数；
（3）圆环最后只能在DF之间滑动，则由能量守恒定律可求得滑环克服摩擦力做功的总路程．

解答：解：（1）滑环从E点滑到F点的过程中，根据机械能守恒得：

1

2

mv02+mg△h=

1

2

m vF2①
在F点对滑环分析受力，得FN-mg=m

vF2

R2

…②
由①②式得：FN=

500

3

N…③
根据牛顿第三定律得滑环第一次通过O₂的最低点F处时对轨道的压力为

500

3

N…④
（2）由几何关系可得倾斜直轨CD的倾角为37°，每通过一次克服摩擦力做功为：W_克=μmgLcosθ，得W_克=16J…⑤
Ek0=

1

2

m

v

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25，取6次…⑥
（3）由题意可知得：滑环最终只能在O₂的D点下方来回晃动，即到达D点速度为零，
由能量守恒得：

1

2

mv02+mgR2(1+cosθ)=μmgscosθ…⑦
解得：滑环克服摩擦力做功所通过的路程s=78m…⑧
答：（1）对轨道的压力为

500

3

N；（2）滑环通这最高点的次数为6次；（3）滑环克服摩擦力做功所通过的路程．

点评：本题考查能量守恒及机械能守恒定律的应用，注意最后若圆环将无法滑上D处，只能在F两侧来回滑动．