Question

5．如图所示，一半径为r=0.25m的圆筒水平放置，其中心轴线垂直于纸面，圆筒上有一个小孔A．当圆筒绕中心轴线匀速转动且小孔A在O点右侧与圆心O等高时，恰好有一个小球从小孔A沿水平向左方向进入圆筒，小球在圆筒中运动0.2s后又从小孔A离开圆筒，取g=10m/s²，求：
（1）小球从A点进入圆筒时的速度大小可能值；
（2）圆筒匀速转动的角速度的可能值．

Answer 1

分析 （1）小球在圆筒中运动过程中下落高度为h，根据自由落体运动基本公式结合几何关系求出速度即可；
（2）分圆筒顺时针转动和逆时针转动两种情况分析，求出圆筒在0.2s内转过的角度（用弧度为单位），再根据角速度的定义式求解可能的角速度，注意周期性．

解答 解：如图所示，设小球离开圆筒时，小孔A转到B或C位置．
（1）小球在圆筒中运动过程中下落高度为h，
h=$\frac{1}{2}$gt²，
cosθ=$\frac{h}{r}$，
θ=37°，
小球从A点进入圆筒时的速度大小为v₁时，小球从B位置离开圆筒
则 r+rsinθ=v₁t，
小球从A点进入圆筒时的速度大小为v₂时，小球从C位置离开圆筒
则   r-rsinθ=v₂t，
解得v₁=2m/s，v₂=0.5 m/s，
（2）若圆筒顺时针转动，在0.2s内转过的角度（用弧度为单位）应为
α₁=$\frac{2π（90°-θ）}{360}$+2πk（k=0、1、2、3…），
或 α₂=$\frac{2π（90°+θ）}{360}$+2πk （k=0、1、2、3…），
则圆筒匀速转动的角速度可能为
ω₁=$\frac{{α}_{1}}{t}$=$\frac{53π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…），
ω₂=$\frac{{α}_{2}}{t}$=$\frac{127π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…），
若圆筒逆时针转动，在0.2s内转过的角度（用弧度为单位）应为
α₃=$\frac{2π（270°-θ）}{360}$+2πk（k=0、1、2、3…），
或 α₄=$\frac{2π（270°+θ）}{360}$+2πk（k=0、1、2、3…），
则圆筒匀速转动的角速度可能为
ω₃=$\frac{{α}_{3}}{t}$=$\frac{233π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…），
ω₄=$\frac{{α}_{4}}{t}$=$\frac{307π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）．
答：（1）小球从A点进入圆筒时的速度大小可能值为2m/s或0.5m/s；
（2）圆筒匀速转动的角速度的可能值为$\frac{53π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）、$\frac{127π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）、$\frac{233π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）或$\frac{307π}{36}$+10πk（k=0、1、2、3…）．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式以及匀速圆周运动的特点，在求解角速度时，既要分两种情况求解，又要注意周期性，难度适中．