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17.如图所示,固定的光滑平台左端固定有一光滑的半圆轨道,轨道半径为R,平台上静止放着两个滑块A、B,其质量mA=m,mB=2m,两滑块间夹有少量炸药.平台右侧有一木板,静止在光滑的水平地面上,木板质量M=3m,板面与平台的台面等高,板面粗糙,动摩擦因数μ=0.2,右侧地面上有一立桩,立桩与木板右端的距离为s,当木板运动到立桩处立即被牢固粘连.点燃炸药后,滑块A恰好能够通过半圆轨道的最高点D,滑块B冲上木板.两滑块都可以看作质点,炸药的质量忽略不计,爆炸的时间极短,爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上,重力加速度为g.求:

(1)炸药爆炸后滑块A的速度大小vA
(2)炸药爆炸后滑块B的速度大小vB
(3)①若s足够长,要使滑块B能与木板相对静止,则木板长度L至少为多少?
     ②若木板长度L=2R,立桩与木板右端的距离s可调整,调整范围为0-2R,请讨论滑块B在木板上运动的过程中,克服摩擦力做的功Wf与s的关系.

分析 (1)炸药爆炸后,滑块A做圆周运动,滑块A恰好能够通过半圆轨道的最高点D,在D点,由重力充当向心力,由牛顿第二定律求出速度vAD.再由动能定理求滑块A的速度大小vA
(2)炸药爆炸过程A、B组成的系统动量守恒,由动量守恒定律可以求出B的速度vB
(3)B与小车组成的系统动量守恒,由动量守恒定律、功能关系结合分析答题.

解答 解:(1)以水平向右为正方向,设爆炸后滑块A的速度大小为vA
滑块A在半圆轨道运动,设到达最高点的速度为vAD
由牛顿第二定律得:mAg=mA$\frac{{v}_{AD}^{2}}{R}$,
解得:vAD=$\sqrt{gR}$
滑块A在半圆轨道运动过程中,由动能定理可得:
-mAg•2R=$\frac{1}{2}$mAvAD2-$\frac{1}{2}$mAvAC2
解得:vA=vAC=$\sqrt{5gR}$
(2)A、B爆炸过程中动量守恒,以B的速度方向为正方向,
由动量守恒定律得:mBvB-mAvA=0
解得:vB=$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$;
(3)①当滑块B与小车共速,设此速度为v,
整个过程中,由动量守恒,以B的速度方向为正方向,由动量守恒定律得:
  2mvB=(2m+3m)v
对木板和滑块B组成的系统,由能量守恒定律得
   μ•2mgs相对=$\frac{1}{2}$•2mvB2-$\frac{1}{2}$(2m+3m)v2
解得:s相对=$\frac{15}{8}$R
即木板的最小长度 Lmin=s相对=$\frac{15}{8}$R
②对木板研究,由动能定理得
  μ•2mgs=$\frac{1}{2}$•3mv2-0;
得 s=$\frac{3}{4}$R(滑块B与木板相对静止时,木板的位移大小)
共速后,木板与立桩粘连后,若滑块B在板上做匀减速运动直到停下,其位移为
  s′=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{1}{2}$R>(2R-$\frac{15}{8}$R)=$\frac{1}{8}$R,即这种情况下滑块会脱离木板
  (a)当0<s<$\frac{3}{4}$R叶,木板到与立桩粘连时未与滑块B达到共速.
分析可知,滑块会滑离木板,滑块B克服摩擦力做功为
   Wf=μ•2mg(L+s)=0.4mg(2R+s)
  (b)当$\frac{3}{4}$R<s<2R时,木板与滑块B先达到共速然后才与立桩粘连
木板与滑块B共速后到碰到立桩之前,滑块B与木板之间无摩擦力
滑块从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为:
   Wf1=μ•2mg(s+L)=0.4mg($\frac{3}{4}$R+2R)=1.1mgR;
答:
(1)炸药爆炸后滑块A的速度大小vA为$\sqrt{5gR}$.
(2)炸药爆炸后滑块B的速度大小vB是$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$.
(3)①若s足够长,要使滑块B能与木板相对静止,则木板长度L至少为$\frac{15}{8}$R.
②(a)当0<s<$\frac{3}{4}$R叶,木板到与立桩粘连时未与滑块B达到共速,滑块B克服摩擦力做功为0.4mg(2R+s).
  (b)当$\frac{3}{4}$R<s<2R时,木板与滑块B先达到共速然后才与立桩粘连.滑块从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为1.1mgR.

点评 本题过程比较复杂,分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键,确定研究对象与研究过程,应用牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题.

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