Question

14．一足够大的倾角为45°的斜面上有一点O，O点正上方h=0.4m处有一点P．在P点以水平速度v₀=1m/s抛出一个小球，随着抛出方向的不同，小球将落到斜面上的不同位置．不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²．试求小球落到斜面上的位置距离O点的最大值和最小值．

Answer 1

分析 当初速度正对斜面上方时，落点A离O最近，当初速度正对斜面下方时，落点B离O最远，结合平抛运动的规律，抓住几何关系求出小球落到斜面上的位置距离O点的最大值和最小值．

解答 解：如图，当初速度正对斜面上方时，落点A离O最近，有：
x₁=v₀t₁                         ①
${y}_{1}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$                      ②
由几何关系
$tan45°=\frac{h-{y}_{1}}{{x}_{1}}$                  ③
由①②③代入数据解得：
t₁=0.2s，x₁=0.2m         
所以最小距离OA=$\frac{{x}_{1}}{cos45°}=\frac{1}{5}\sqrt{2}m$．
当初速度正对斜面下方时，落点B离O最远，有
x₂=v₀t₂                   ④
${y}_{2}=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$                  ⑤
由几何关系
$tan45°=\frac{{y}_{2}-h}{{x}_{2}}$           ⑥
由④⑤⑥代入数据解得：
t₁=0.4s，x₂=0.4m              
所以最大距离OB=$\frac{{x}_{2}}{cos45°}=\frac{2}{5}\sqrt{2}m$．
答：小球落到斜面上的位置距离O点的最大值和最小值分别为$\frac{2\sqrt{2}}{5}m、\frac{\sqrt{2}}{5}m$．

点评 解决本题的关键确定如何抛出小球落到斜面上的位置距离O点的最远和最近，结合水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住几何关系，运用运动学公式灵活求解，难度中等．