Question

18．如图，坐标系中阴影部分ABC为一透明材料做成的光学元件横截面，该种材料折射率n=2，AC为一半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧，圆心在坐标原点O上，ABCO构成正方形，在O处有一点光源．
①该透明材料发生全反射时的临界角；
②从点光源射入该透明材料的光中，有一部分无法从AB、BC面射出，请分别求出：在AB表面上和BC表面上有光线透射出来的坐标范围．

Answer 1

分析 ①先根据折射率，由公式sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射时的临界角．
②从点光源射入圆弧AC的光中，有一部分不能从AB、BC面直接射出，是由于在AB和BC面上发全了全反射，由几何知识求解．

解答 解析：①设该种材料的临界角为C，则：
sinC=$\frac{1}{n}$ 
解得：C=30°  
②如图所示，若沿DE方向射到AB面上的光线刚好发生全反射，则：∠ADE=30° 
据几何关系可得：AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
故AB面上有光透射出来的坐标范围为（0，R）～（$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，R）
同理，若沿DG方向射入的光线刚好在BC面上发生全反射，则：∠CDG=30° 
据几何关系可得：CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
故BC面上有光线透射出来的坐标范围为：（R，0）～（R，$\frac{\sqrt{3}}{3}$R）．
答：①该透明材料发生全反射时的临界角是30°；
②AB面上有光透射出来的坐标范围为 （0，R）～（$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，R）．BC面上有光线透射出来的坐标范围为（R，0）～（R，$\frac{\sqrt{3}}{3}$R）．

点评 解决本题关键是掌握全反射的条件和临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，结合几何知识进行求解．