Question

15．模拟高山滑雪运动娱乐场可简化为如图所示的物理模型．AB为固定在竖直平面内的倾斜直轨道，直轨道AB与光滑圆弧轨道BC相切，圆弧轨道的圆心角为37°，半径为r=10m，C点与水平面相切，AB段的动摩擦因数为$\frac{5}{8}$，竖直墙壁CD高H=5$\sqrt{3}$m，紧靠墙壁在地面上固定一个和CD等高的四分之一圆弧形气囊ED，E和C等高．一个质量m=60kg的爱好者（视为质点）在倾斜轨道上从距离B点L=5m处静止滑下，从C点水平抛出．（重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）运动爱好者经过到C点时对轨道的压力的大小；
（2）运动爱好者从C点抛出到接触圆弧气囊的时间；
（3）改变运动爱好者从轨道上滑下的初位置，求接触气囊时动能的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据动能定理研究AC过程，求得该人经过C点的速度．在C点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求轨道对人的支持力，再得到人对轨道的压力．
（2）运动爱好者从C点抛出后做平抛运动，由分位移公式和几何关系结合求运动的时间．
（3）改变运动爱好者从轨道上滑下的初位置，他平抛下落的高度不同，接触气囊时动能不同．根据平抛运动的规律和动能定理得到接触气囊时动能与下落高度的关系式，再由数学知识求接触气囊时动能的最小值．

解答 解：（1）运动爱好者从A到C的过程，由动能定理得
    mgLsin37°+mg（r-rcos37°）-μmgLcos37°=$\frac{1}{2}$mv_c² ①
解得 v_c=5$\sqrt{2}$m/s
在C点，由牛顿第二定律得
   N-mg=m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{r}$           ②
解得 N=900N
由牛顿第三定律得，人对轨道的压力大小为900N               
（2）设爱好者接触到圆弧面上时水平位移为x，竖直位移为y，则有
   x=v_ct      ③
   y=$\frac{1}{2}$gt² ④
由几何知识有
  x²+y²=H² ⑤
解得：t=1s     
（3）由x²+y²=H²可得
   v_c²t²=v_c²$\frac{2y}{g}$=H²-y² ⑤
即：v_c²=$\frac{g（{H}^{2}-{y}^{2}）}{2y}$
人接触气囊时动能   E_k=$\frac{1}{2}$mv_c²+mgy=$\frac{mg{H}^{2}}{4y}$+$\frac{3}{4}$mgy  ⑥
根据数学知识知，当$\frac{mg{H}^{2}}{4y}$=$\frac{3}{4}$mgy，解得y=5m时，动能取得最小值：E_kmin=4500J  
答：
（1）运动爱好者经过到C点时对轨道的压力的大小是900N；
（2）运动爱好者从C点抛出到接触圆弧气囊的时间是1s；
（3）改变运动爱好者从轨道上滑下的初位置，接触气囊时动能的最小值是4500J．

点评 本题采用分段法研究，知道涉及力在空间的效应时，运用动能定理可求速度．对于平抛运动，一要掌握分运动的规律．二要把握题中限制条件，运用数学知识帮助解答．