Question

8．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量相同的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin53°=0.8，cos53°=0.6），以最低点C所在的水平面为重力势能的参考平面，则（　　）

• A． A、B两球所受弹力的大小之比为4：3
• B． A、B两球运动的周期之比为1：1
• C． A、B两球的动能之比为64：27
• D． A、B两球的重力势能之比为16：9

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠两个力的合力提供向心力，根据平行四边形定则求出支持力之比，根据牛顿第二定律求出周期、线速度之比．从而得出动能之比．根据高度求出重力势能，从而得出重力势能之比．

解答 解：A、小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据平行四边形定则得：
   轨道的弹力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，θ是小球所在处的轨道半径与竖直方向的夹角，则A、B两球所受弹力的大小之比为 $\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}$=$\frac{cos37°}{cos53°}$=$\frac{4}{3}$．故A正确．
BC、设半球面的半径为R，小球圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律得 mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，解得
  小球的动能 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ，则A、B两球的动能之比 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{kB}}$=$\frac{tan53°sin53°}{tan37°sin37°}$=$\frac{64}{27}$．
由上解得，周期 T=2π$\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}$，则A、B两球运动的周期之比为  $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B错误，C正确．
D、小球的重力势能E_p=mgR（1-cosθ），则A、B两球的重力势能之比为 $\frac{{E}_{pA}}{{E}_{pB}}$=$\frac{1-cos53°}{1-cos37°}$=2．故D错误．
故选：AC

点评 解决本题的关键搞清向心力的来源：合外力，运用牛顿第二定律得出线速度、周期的关系式．