Question

【题目】如图是形状为“2019”的竖直光滑轨道（轨道上端等高），其中数字“0”为半径R1＝5m的圆，上半圆为单侧外轨道，轨道其余部分为管道。数字“9”上部分是一段四分之三的圆弧，圆的半径R2＝1m：所有管道均平滑连接。现有一质量m＝1kg的小球，小球的直径略小于管道直径，且小球直径远小于R1和R2大小。当小球以初速度v进入轨道，恰能通过“0”最高点A，并经过B、C点，最后从水平放置的CD管道的D点抛出，恰能无碰撞从管口E点进入倾角为θ的粗糙斜直管，然后小球沿斜直管下滑到底端。在斜直管中，假设小球受到阻力大小恒为其重量的0.3倍。已知E点距管底F的距离L＝5m，求：

（1）小球通过“9”最高点B时对管道的弹力大小和方向；

（2）斜面的倾角的大小；

（3）小球在沿粗糙斜直管下滑到管底F时的速度大小。

Answer 1

【答案】（1）40N，方向向上；（2）53°；（3）m/s

【解析】

（1）小球恰能通过“0”最高点A，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：

故

根据机械能守恒知，小球通过“9”最高点B时的速度为：

vB＝vA＝5m/s

小球通过B点时，有：

可得：N＝40N，方向向下

根据牛顿第三定律知，小球对管道的弹力大小 N′＝N＝40N，方向向上。

（2）由A到D的过程，由机械能守恒得：

解得 vD＝3m/s

由D点作平抛运动到E点的过程，有：

2R1﹣2R2＝

可得 vy＝4m/s

所以 tanθ＝

可得 θ＝53°

（3）小球平抛运动到E点时的速度为：

由E点到F点的过程，由动能定理得：

（mgsin53°﹣kmg）L＝

解得：vF＝10m/s