Question

9．如图，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m，l=2.5m，v₀=6m/s，物块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其它部分摩擦不计．取g=10m/s²．
求：

（1）物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力；
（2）物块仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

Answer 1

分析 （1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理列式求解最高点的速度；在圆弧轨道的最高点，重力和弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解弹力；
（2）先根据牛顿第二定律求解物体恰能经过圆弧最高点的速度，然后对运动的全程根据动能定理列式求解l的距离．

解答 解：（1）对物块，首次从A到B，由动能定理有：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀² 
在B点，根据牛顿第二定律有：N₁+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据联立解得：N₁=40N
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为40N，方向竖直向上．
（2）对物块，从A点到第二次到达B点，由动能定理有：-f•2L-mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{′2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
在B点，根据牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{R}$
代入数据联立解得：L=1m
答：（1）物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；
（2）当长度为1m时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

点评 本题综合考查了运动学公式、向心力公式、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．