Question

15．在磁感应强度为B的匀强磁场中，一静止的质量为M带电量为q的原子核发生一次α衰变，新核和α粒子运动轨迹如图所示，轨迹在与磁场垂直的平面内．现测得α粒子运动的轨道半径为R，质子的电荷量为e，质子的质量为m（涉及动量问题时，亏损的质量可忽略不计）．试求：
（1）新核的轨道半径；
（2）在衰变过程中的质量亏损．

Answer 1

分析 根据带电粒子在匀强磁场中洛伦兹力提供向心力，求得α粒子的速度，再结合动量守恒定律求出新核的速度，再根据洛伦兹力提供向心力求解新核半径，结合质能方程即可求得衰变过程中的质量亏损．

解答 解：（1）衰变放出的α粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，则有：
$4m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}=B•2e{v}_{1}$
解得：${v}_{1}=\frac{BeR}{2m}$
衰变过程动量守恒，设新核速度为v₂，以α粒子的速度方向为正，则有：
0=4mv₁-（M-4m）v₂
解得：v₂=$\frac{2BeR}{M-4m}$，
新核在匀强磁场中做匀速圆周运动，则有：
$（M-4m）\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}=B•（q-2e）{v}_{2}$
解得：r=$\frac{2BeR}{B（q-2e）}$
（2）衰变过程α粒子、新核的动能来自核能，所以衰变释放的核能为：
△E=$\frac{1}{2}$（M-4m）v₂²+$\frac{1}{2}$×4mv₁²
又△E=△mc²
解得：△m=$\frac{2{B}^{2}{e}^{2}{R}^{2}}{（M-4m）{c}^{2}}+$$\frac{{B}^{2}{e}^{2}{R}^{2}}{2m{c}^{2}}$
答：（1）新核的轨道半径为$\frac{2BeR}{B（q-2e）}$；
（2）在衰变过程中的质量亏损为$\frac{2{B}^{2}{e}^{2}{R}^{2}}{（M-4m）{c}^{2}}+\frac{{B}^{2}{e}^{2}{R}^{2}}{2m{c}^{2}}$．

点评 该题将带电粒子在磁场中的圆周运动与动量守恒定律和质能方程结合在一起，要理清它们之间的关系，确定要使用的公式，难度较大．