Question

某种加速器的理想模型如图1所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔a、b，两极板间电压u_ab的变化图象如图2所示，电压的最大值为U₀、周期为T₀，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场．若将一质量为m₀、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间T₀后恰能再次从a 孔进入电场加速．现该粒子的质量增加了

1

100

m0．（粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力）
（1）若在t=0时刻将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
（2）现在利用一根长为L的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响），使图1中实线轨迹（圆心为O）上运动的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
（3）若将电压u_ab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内a孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？

Answer 1

（1）质量为m₀的粒子在磁场中作匀速圆周运动Bqv=

mv2

r

，T0=

2πr

v

则T0=

2πm0

qB

当粒子的质量增加了

1

100

m₀，其周期增加△T=

1

100

T₀
根据题图2可知，粒子第一次的加速电压u₁=U₀
经过

101T0

100

第二次加速，第2次加速电压u₂，如图2
在三角形中，

u2

U0

=

T0 4 - T0 100

T0 4

=

24

25

，


所以粒子第二次的加速电压u2=

24

25

U0
粒子射出时的动能 E_k2=qu₁+qu₂
解得Ek2=

49

25

qU0
（2）因为磁屏蔽管使粒子匀速运动至以下L处，出管后仍然做圆周运动，可到C点水平射出．磁屏蔽管的位置如图1所示．粒子运动的轨迹如图3．
（3）如图4（用Excel作图）设T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期内的电压随时间变化的图象
从图象可以看出，时间每改变△t=

T0

100

（图象中为1），电压改变为

2

25

U0（图象中为4），
所以图象中电压分别为50，46，42，38，…10，6，2，共13个，
设某时刻t，u=U₀时被加速，此时刻可表示为

T0

2

?N，
静止开始加速的时刻t₁为t1=

T0

2

?N-n×

101T0

100

，其中n=12，将n=12代入得t1=

T0

2

?N-

1212T0

100

，
因为t1＜

T0

2

，在u＞0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数：N=

T0 4

△T

，得N=25．
所以只能取N=25，解得t1=

19

25

T0，由于电压的周期为

T0

2

，所以t=

T0

2

n+

19

25

T0（n=0，1，2，3…）
故粒子由静止开始被加速的时刻t=(

n

2

+

19

50

)T0（n=0，1，2，…）
故加速时的电压分别

23

25

U0，

21

25

U0，

19

25

U0…

5

25

U0，

3

25

U0，

1

25

U0，
加速电压做的总功，即动能的最大值，故粒子的最大动能 Ekm=2×(

1

25

+

3

25

+…

23

25

)qU0+qU0
解得 Ekm=

313

25

qU0．