Question

12．一宇航员抵达半径为R的星球表面后，做了如下实验：取一细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细直管抡动砝码，使它在竖直面内做匀速圆周运动，如图所示．观察测力计，当砝码运动到圆周的最低点时，读书为F₁；当砝码运动到圆周的最高点时，读数为F₂．求：在该星球表面发射人造卫星所需的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 砝码在竖直平面内做匀速圆周运动，当砝码运动到圆周最低点和最高点时，根据牛顿第二定律列式求出重力加速度，从而求出第一宇宙速度．

解答 解：砝码在竖直平面内做匀速圆周运动，当砝码运动到圆周最低点时有：${F_1}-mg=m\frac{v^2}{R}$
当砝码运到到圆周的最高点时有：${F_2}+mg=m\frac{v^2}{R}$
联立两式解得：$g=\frac{{{F_1}-{F_2}}}{2m}$
在星球表面，万有引力近似等于重力，则有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
该星球的第一宇宙速度为：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{（{F_1}-{F_2}）R}}{2m}}$
答：在该星球表面发射人造卫星所需的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{（{F}_{1}-{F}_{2}）R}{2m}}$．

点评 根据砝码做圆周运动时在最高点和最低点的运动规律，找出向心力的大小，可以求得重力加速度，
知道在星球表面时，万有引力和重力近似相等，而贴着星球的表面做圆周运动时，物体的重力就作为做圆周运动的向心力．