Question

1．如图所示，光滑水平AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R．一个质量为m的物体获得某一向右的速度，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C，已知C、O、B三点在同一竖直线上．不计空气阻力．试求：
（1）物体到达B点时的速度大小；
（2）从B点运动至C点的过程中，物体克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）根据经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，利用牛顿第二定律F_向=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，即可求出B点速度；
（2）物体恰能到达最高点C条件为在C点重力恰好提供向心力，即可求出C点速度，对物体从B到C的过程中运用动能定理，即可求出从B点运动至C点的过程中，物体克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）设物体在B点的速度为v_B，所受的轨道的支持力为F_N，
物体在B点受到重力和支持力，由牛顿第二定律有：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
又因：F_N=8mg
联立解得：v_B=$\sqrt{7gR}$
（2）设物体在C点的速度为v_C，物体恰能到达最高点C，只受重力，重力恰好提供向心力，
可得：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
设物体由B点运动到C点的过程中，克服摩擦力做的功为W_f，
由动能定理得：-W_f-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：W_f=mgR
答：（1）物体到达B点时的速度大小为$\sqrt{7gR}$；
（2）从B点运动至C点的过程中，物体克服摩擦力做的功为mgR．

点评 本题考查动能定理以及牛顿第二定律的综合运用，难度不大，解题关键是要牢记竖直平面内物体贴着轨道内侧做圆周运动的极限条件，即最高点重力恰好提供向心力，分析各个过程的受力情况、各力做功情况、运动特点，然后选择牛顿第二定律、动能定理等规律来求解，是一道综合性比较强的题目．