Question

18．2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射．标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平．飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求：
（1）地球的质量；
（2）飞船在上述圆形轨道上运行的周期T．

Answer 1

分析 在地球表面，重力和万有引力相等，神舟五号飞船轨道上，万有引力提供飞船做圆周运动的向心力．

解答 解：（1）根据在地面重力和万有引力相等，则有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，地球的半径为R，神舟五号飞船圆轨道的半径为r，飞船轨道距地面的高度为h，
则据题意有：r=R+h
飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
T=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
答：（1）地球的质量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）飞船在上述圆形轨道上运行的周期T是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．

点评 万有引力的应用两点注意：（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受的万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力．注意轨道半径和距地面距离的关系．