Question

为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船总质量为m₁在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂，已知万有引力恒量为G．
求：（1）X星球的质量；
（2）登陆舱在半径为r₂的轨道上做圆周运动的周期．

Answer 1

分析：飞船绕星球做圆周运动的向心力由万有引力提供，据此列式求解星球质量M，和周期T．

解答：解：（1）飞船绕X星球圆周运动的向心力由万有引力提供，令X星球的质量为M，则由题意有：
G

m1M

r 2 1

=m1r1

4π2

T 2 1

             ①
解得：M=

4π2 r 3 1

G T 2 1

（2）登录舱在r₂的轨道上运动时满足万有引力提供向心力即：

GMm2

r 2 2

=m2r2

4π2

T 2 2

             ②
联立①和②得：T₂=

r 3 2 r 3 1

T1
答：：（1）X星球的质量M=

4π2 r 3 1

G T 2 1

；
（2）登陆舱在半径为r₂的轨道上做圆周运动的周期T₂=

r 3 2 r 3 1

T1

点评：万有引力提供圆周运动的向心力G

mM

r2

=mr

4π2

T2

是解决本题的关键