Question

11．空间建立直角坐标系，如图所示，在第一象限和第四象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿+x方向的匀强电场，现有一个质量为m，带电荷量为+q的离子（不计重力）从x轴上距坐标原点距离为L的A点以沿+y方向的初速度v₀射入电场，到达+y轴距离坐标原点为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L的B点进入第一象限，然后再经过x轴后第一次到达坐标原点O，求：
（1）离子到达B点时的速度大小．
（2）离子离开B点通过x轴的位置坐标．
（3）匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度大小的比值．

Answer 1

分析 （1）离子在第二象限做类平抛运动，可分解为在沿+y方向做匀速直线运动，在x方向做匀加速直线运动，分别列式，再求出离子在B点沿+y、+x方向的分速度，再利用分速度求出B点时的速度；
（2）根据粒子在B点与+y方向的角度，以及离子在磁场在运动的对称性，找到圆心和半径，画出运动轨迹，再求在x轴的坐标；
（3）根据在第二象限的加速度求出电场强度表达式，根据离子在磁场中运动的半径求出磁感应强度表达式，最后再求它们的比值．

解答 解：（1）离子在第二象限做类平抛运动，可分解为在沿+y方向做匀速直线运动，在x方向做匀加速直线运动
则沿+y方向有$\frac{2\sqrt{3}}{3}L={v}_{0}t$
沿着+x方向有：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得a=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2L}$
在B点时离子+y方向的分速度为v_y=v₀
在B点时离子+x方向的分速度为v_x=at=$\sqrt{3}{v}_{0}$
则离子到达B点时的速度$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2{v}_{0}$；
（2）离子在B点速度与+y方向的夹角为θ，则tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=\sqrt{3}$，则θ=60°
由对称性作出离子做圆周运动的圆心和半径，画出运动轨迹如图所示
由几何关系知粒子做圆周运动的半径R=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}L}{sin60°}=\frac{2}{3}L$
设与x轴交于点C，则OC=$2Rcos60°=\frac{2}{3}L$
则离子离开B点通过x轴的位置坐标为（$\frac{2}{3}L，0$）
（3）在第二象限：a=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2L}$=$\frac{qE}{m}$，解得电场强度E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
在磁场中，洛仑兹力提供向心力，由牛顿第二定律有
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得匀强磁场的磁感应强度B=$\frac{3m{v}_{0}}{qL}$
则$\frac{E}{B}=\frac{{v}_{0}}{2}$；
答：（1）离子到达B点时的速度大小为2v₀；
（2）离子离开B点通过x轴的位置坐标为（$\frac{2}{3}L，0$）；
（3）匀强电场的电场强度与匀强磁场的磁感应强度大小的比值为$\frac{{v}_{0}}{2}$．

点评 本题考查带电粒子在组合场中的运动，解题的关键是在电场中利用粒子在电场中偏转的规律，将运动分解；在磁场中按照找圆心，求半径，画轨迹的思路求解．