Question

如图所示，倾角为α的光滑斜面与半径为R=0.4m的半圆形光滑轨道在同一竖直平面内，其中斜面与水平面BE光滑连接，水平面BE长为L=0.4m，直径CD沿竖直方向，C、E可看作重合．现有一可视为质点的小球从斜面上距B点竖直距离为H的地方由静止释放，小球在水平面上所受阻力为其重力的

1

5

．（取g=10m/s²）
（1）若要使小球经E处水平进入圆形轨道且能沿轨道运动，H至少要有多高？若小球恰能沿轨道运动，那么小球在水平面DF上能滑行多远？
（2）若小球释放处离B点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的G点，求此h的值．

Answer 1

分析：（1）小球从光滑轨道下滑，机械能守恒，设到达B点时的速度大小为υ．小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤m

v2

R

，在BC平面上做匀减速运动，根据牛顿第二定律求出加速度，根据速度位移公式列式，联立即可求解；
（2）若h＜H，小球过E点后做平抛运动，设球经E点时的速度大小为υ_x，根据平抛运动的规律结合动能定理即可求解．

解答：解：（1）小球从光滑轨道下滑，机械能守恒，设到达B点时的速度大小为υ．则：mgH=

1

2

mv2
因为小球在水平面上所受阻力为其重力的

1

5

，根据牛顿第二定律得：
a=

kmg

m

=2m/s²
vE2-v2=-2aL
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤m

vE2

R

，
联立以上几式并代入数据解得：H≥0.28m
小球恰能沿轨道运动，根据动能定理得：
mg?2R-kmgx=0-

1

2

mvE2
解得：x=5m
（2）若h＜H，小球过E点后做平抛运动，设球经E点时的速度大小为υ_x，则击中G点时：
竖直方向：R=

1

2

gt2①
水平方向：R=υ_xt…②
由动能定理有：mgh-kmgL=

1

2

mvx2③
由①②③解得h=0.18m
答：（1）若要使小球经E处水平进入圆形轨道且能沿轨道运动，H至少要有0.28m，若小球恰能沿轨道运动，那么小球在水平面DF上能滑行5m；
（2）若小球释放处离B点的高度h小于（1）中H的最小值，小球可击中与圆心等高的G点，此h的值为0.18m．

点评：本题是圆周运动结合平抛运动的题型，要知道小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤m

v2

R

，若不满足，则小球做平抛运动，难度适中．