Question

5．如图是过山车的部分模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=8.1m，该光滑圆形轨道固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=$\frac{10}{81}$，不计空气阻力，过山车质量为20kg，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，求：
（1）小车在A点的速度为多大；
（2）小车在圆形轨道的最低点B时对轨道的压力为重力的多少倍；
（3）小车在P点的动能．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过A点，知重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小车在A点的速度大小．
（2）根据动能定理求出B点的速度，结合牛顿第二定律求出B点对小车的支持力，从而得出小车对轨道压力是重力的倍数．
（3）对P到A运用动能定理，求出小车在P点的动能．

解答 解：（1）设小车经过A点时的临界速度为v_A，
由$mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{A}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×8.1}m/s=9m/s$．
（2）从B到A，根据动能定理有：
$-mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
在B点，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得F_N=6mg，
由牛顿第三定律可知，小车对轨道的压力等于6mg．
（3）对P到A，根据动能定理得，
$-μmgcosα{x}_{PQ}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$，
其中x_PQsinα=R+Rcosα，
解得$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=1290J$．
答：（1）小车在A点的速度为9m/s；
（2）小车在圆形轨道的最低点B时对轨道的压力为重力的6倍；
（3）小车在P点的动能为1290J．

点评 本题考查了动能定理与圆周运动的综合，抓住A点的临界情况求出A点的速度是关键，运用动能定理解题关键选择好研究的过程，分析过程中有哪些力做功，然后结合动能定理列式求解．