Question

8．如图一矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动，右端通过电刷a，b与一平行水平金属板相连接．已知线圈匝数为N=10匝，线圈面积S=0.5m²，线圈匀速转动的转速为n=60r/min，线圈内阻不计，磁场的磁感应强度B=$\frac{10}{π}$（T）．平行金属板板长l=0.1m，板间距离d=0.2m，求：
（1）从图示时刻开始计时，写出矩形线圈中的电动势随时间变化的函数关系式？
（2）若某时刻一质量为m=1×10^-3Kg、带电量为q=0.2C的正粒子，从板中央以v₀=100m/s的初速度水平射入平行金属板间，假设粒子在穿越板间的极短时间内电压不变，不计粒子重力，则粒子在金属板间的最大偏转位移为多少？

Answer 1

分析 （1）由最大值表达式可求得感应电动势的最大值，再由瞬时表达式规律可求得瞬时值；
（2）当电压达最大值时，粒子在金属板间的偏移量达最大，由类平抛运动的规律可求得最大偏移量．

解答 解：（1）线圈的转速n=60r/min=1r/s；
角速度ω=2πn=2π（rad/s）
感应电动势的最大值E_m=NBsω=10×$\frac{10}{π}$×0.5×2π=100V；
由图可知，由最大值开始计时，故瞬时表达式e=E_mcosωt=100cos2πt；
（2）解：（1）带电粒子在平行极板方向做匀速直线运动，由L=${v}_{0}^{\;}t$可得：
t=$\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{0.1}{100}$=0.001s
当电压达最大值时，偏转位移最大；
由E=$\frac{U}{d}$，F=Eq，及F=ma可得a=$\frac{qU}{md}$=$\frac{100×0.2}{1×1{0}^{-3}×0.2}$=1×10⁵m/${s}_{\;}^{2}$
带电粒子在竖直方向偏转位移y=$\frac{1}{2}{at}_{\;}^{2}$，代入数据可得y=$\frac{1}{2}$×1×10⁵×（0.001）²=0.05m；
答：（1）矩形线圈中的电动势随时间变化的函数关系式为e=100cos2πt；
（2）粒子在金属板间的最大偏转位移为0.05m

点评 带电粒子在匀强电场中的偏转可以用类平抛规律求解，将带电粒子沿初速度方向和垂直初速度的方向分解，然后根据两分运动的独立性和等时性根据牛顿定律列式求解即可．