Question

15．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面AB与水平方向的夹角θ=45°，A、B两点的高度差h=4m，在B点左侧的水平面上有一左端固定的轻质弹簧，自然伸长时弹簧右端到B点的距离s=3m．质量为m=1kg的物块从斜面顶点A由静止释放，物块进入水平面后向左运动压缩弹簧的最大压缩量x=0.2m．已知物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s²，不计物块在B点的机械能损失．求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）物块最终停止位置到B点的距离；
（3）物块在斜面上滑行的总时间（结果可用根式表示）．

Answer 1

分析 （1）物块从开始位置到压缩至速度为零的过程，根据功能关系求解弹簧的最大弹性势能；
（2）物块从开始位置到最终静止在水平面上的过程，由动能定理求出在水平面上运动的总路程，从而确定最终停止位置到B点的距离；
（3）物块在光滑斜面运动时，由牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学基本公式结合动能定理求解即可．

解答 解：（1）物块从开始位置到压缩至速度为零的过程，根据功能关系得：
mgh-μmg（s+x）=E_P
代入数据解得：E_P=24J
（2）物块从开始位置到最终静止在水平面上的过程，由动能定理得：
mgh-μmgl=0-0
代入数据解得：l=8m
所以物块停止位置到B点的距离为：△l=l-2（s+x）=1.6m＜3m，
即物块最终停止位置距B点1.6m，
（3）物块在光滑斜面运动时，由牛顿第二定律得：
$a=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$，
设第一次在斜面上运动的时间为t₁，则有：$\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
代入数据解得：${t}_{1}=\frac{2}{5}\sqrt{10}s$，
设物块从水平面返回斜面时的速度为v，由动能定理得：
mgh-2$μmg（s+x）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：v=4m/s
则第二次在斜面上滑行的时间为：${t}_{2}=2\frac{v}{gsinθ}=\frac{4\sqrt{2}}{5}s$，
所以物块在斜面上滑行的总时间为：t=t₁+t₂=$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{5}s$
答：（1）弹簧的最大弹性势能为24J；
（2）物块最终停止位置到B点的距离为1.6m；
（3）物块在斜面上滑行的总时间为$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{5}s$．

点评 本题关键灵活地选择过程运用动能定理列式求解；对斜面上的运动可以运用牛顿第二定律和运动学公式联立求解，难度适中．