Question

列车载重时直接向前起动有困难，司机常常先倒车再起动前进．设在平直轨道上的某机车后面挂接有n节车厢，机车与每节车厢的质量都为m，它们所受的阻力都为自身重力的k倍，倒车后各节车厢间的挂钩所留间隙均为d，如图（1）所示，在这种植况下，机车以恒定的牵引力F由静止开始起动，机车及各车厢间挂接的时间极短，挂接后挂钩的状态如图（2）所示．求：
（1）第一节车厢刚被带动时列车的速度
（2）最后一节车厢刚被带动时列车的速度
（3）要想使最后一节车厢也能被带动起来，机车牵引力 F的最小值．

Answer 1

（1）挂接第一节车厢前，由动能定理得：
（F-kmg）d=

1

2

mv₁′²-0，
挂接第一节车厢的过程中，动量守恒，
由动量守恒定律得：mv₁′=2mv₁，
解得：v₁=

1 2 ( F m -kg)d

；
（2）挂接第二节车厢前，由动能定理得：
（F-k?2mg）d=

1

2

mv₂′²-

1

2

mv₁²，
挂接第二节车厢的过程中，动量守恒，
由动量守恒定律得：2mv₂′=3mv₂，
解得：v₂=

2 3 ( F m - 5 3 kg)d

，
挂接第三节车厢前，由动能定理得：
（F-k?3mg）d=

1

2

mv₃′²-

1

2

mv₂²，
挂接第三节车厢的过程中，动量守恒，
由动量守恒定律得：3mv₂′=4mv₃，
解得：v₃=

3 4 (F- 7 3 kg)d

，
同理可得，第n节车厢刚被带动时的速度：
v_n=

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

；
（3）要想使最后一节车厢也能被带动起来，
则v_n≥0，即

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

≥0，

F

m

-

2n+1

3

kg≥0，
则F≥

2n+1

3

kmg；
答：（1）第一节车厢刚被带动时列车的速度为：

1 2 ( F m -kg)d

；
（2）最后一节车厢刚被带动时列车的速度为

n n+1 (F- 2n+1 3 kg)d

；
（3）要想使最后一节车厢也能被带动起来，机车牵引力F的最小值为

2n+1

3

kmg．