Question

17．如图所示，半径R=0.4m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h=0.8m高处固定一水平轨道PQ，转轴和水平轨道交于O′点．一质量m=2kg的小车（可视为质点），在F=6N的水平恒力作用下（一段时间后，撤去该力），从O′左侧x₀=2m处由静止开始沿轨道向右运动，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘半径OA与x轴重合．规定经过O点水平向右为x轴正方向．小车与轨道间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．
（1）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大？
（2）为使小球能落到圆盘上，求水平拉力F作用的距离范围？

Answer 1

分析 （1）物块离开O′点后做平抛运动，可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度，若圆盘转一圈，物块恰好调入小桶，此时作用力时间最短．圆盘转一圈的时间与平抛运动时间是相等．从而得出圆盘转动的角速度最小值．也有可能在平抛运动时间内，圆盘转动N圈．因此求出转动角速度；
（2）小球能落在圆盘上，则可利用平抛运动，可求出小球抛出的速度范围，从而得出小球的加速度的范围．最终运用牛顿第二定律可求出水平拉力的距离范围

解答 解：（1）小球离开小车后，由于惯性，将以离开小车时的速度作平抛运动
竖直方向有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}=0.4（s）$
水平方向：R=vt         
小车运动到O′点的速度$v=\frac{R}{t}=\frac{0.4}{0.4}m/s=1m/s$
为使小球刚好落在A点则应满足：ωt=2πk
解得：$ω=\frac{2πk}{t}=5πk（k=1，2，…）$
（2）小球若能落到圆盘上，其在O′点的速度范围是：0＜v≤1m/s
设水平拉力作用的最小距离与最大距离分别为x₁、x₂，对应到达O′点的速度分别为0、1m/s．
由动能定理，有：
Fx₁-μmgx₀=0
代入数据解得：
x₁=1m
根据动能定理，有：
Fx₂-μmgx₀=$\frac{1}{2}$mv²-0
代入数据解得x₂=1.125m
则水平拉力F作用的距离范围 1m＜x≤1.125m
答：（1）为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为ω=5kπ rad/s，其中k=0，1，2，3…；
（2）为使小球能落到圆盘上，求水平拉力F作用的距离范围：1m＜x≤1.125m．

点评 解决本题的关键知道物块整个过程的运动：匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动，知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等．以及熟练运用运动学公式．