Question

13．如图所示，质量为m=60kg的滑雪运动员（可视作质点），在平台上滑行一段距离后水平滑出，从空中运动一段时间后，从A点恰好沿圆弧切线的方向进入半径为R=8.0m的竖直圆弧轨道中．然后在摩擦阻力的作用下沿竖直圆弧轨道作匀速圆周运动．已知A、B为圆弧两端点，其连线水平，对应圆心角为θ=120°，平台与AB连线的高度差为h=2.4m．（忽略空气阻力g=10m/s²）求：
（1）运动员在A点时的速度方向与水平方向的夹角；
（2）运动员从水平台面滑出的速度大小v₀；
（3）运动员滑到轨道最低点时对轨道的压力大小．

Answer 1

分析 根据人能无能量损失地进入圆弧轨道，说明人的末速度应该沿着A点切线方向，再有圆的半径和角度的关系，可以求出A点切线的方向，即平抛末速度的方向，从而可以求得初速度；在最低点，由向心力的公式可以求得物体受到的支持力的大小，等于对轨道压力的大小．

解答 解（1）曲线运动的速度方向是切线方向，由几何关系可知，运动员在A点时的速度方向与水平方向的夹角为：
α=60°
（2）A点竖直方向的分速度：${v}_{Ay}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×2.4}$m/s=4$\sqrt{3}$/s
根据tan60°=$\frac{{v}_{Ay}}{{v}_{0}}$，有：
${v}_{0}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4/s
（3）在A点的速度为：
${v}_{A}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{Ay}}^{2}}=8$m/s
在摩擦阻力的作用下沿竖直圆弧轨道作匀速圆周运动，故在最低点，根据牛顿第二定律，有：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$=60×10+60×$\frac{64}{8}$=1080N
答：（1）运动员在A点时的速度方向与水平方向的夹角为60°；
（2）运动员从水平台面滑出的速度大小v₀为4m/s；
（3）运动员滑到轨道最低点时对轨道的压力大小为1080N．

点评 人恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得物体的初速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起，能够很好的考查学生的能力，是道好题．