Question

3．为了研究过山车的原理，某同学提出下列设想：取一个与水平方向夹角α=37°、长L=2.75m的粗糙倾斜轨道AB，通过光滑水平轨道BC与竖直粗糙圆轨道相连，出口为水平轨道DE．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量m=0.5kg的小物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时的速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.5．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求小物块到达B点时的速度大小．
（2）若小物块在圆轨道最高点P处恰好无压力，且在圆轨道最低点C时对C点的压力为35N，求圆轨道的半径和小物块在P处的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律即A点速度方向求得A点速度，然后由动能定理求得B点速度；
（2）在C点竖直方向应用牛顿第二定律可求得半径，在最高点P竖直方向应用牛顿第二定律可求得P点速度．

解答 解：（1）物块从某一高处水平抛出，做平抛运动到A点，那么由平抛运动规律可知：水平分速度不变；
物块到A点时的速度方向恰沿AB方向，那么物块在A处的速度${v}_{A}=\frac{{v}_{0}}{cos37°}=5m/s$；
小物块从A运动到B的过程只有重力、摩擦力做功，由动能定理可得：$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
所以，小物块到达B点时的速度大小${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2gL（sin37°-μcos37°）}=6m/s$；
（2）小物块对C点的压力为35 N，那么，小物块在C点受到的支持力F_N=35N，对小物块在C点竖直方向上应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$；
所以，圆轨道的半径$R=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{{F}_{N}-mg}=0.6m$；
小物块在圆轨道最高点P处恰好无压力，那么，对小物块在P点竖直方向上应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{P}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{P}=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s$；
答：（1）小物块到达B点时的速度大小为6m/s；
（2）若小物块在圆轨道最高点P处恰好无压力，且在圆轨道最低点C时对C点的压力为35N，那么圆轨道的半径为0.6m；小物块在P处的速度大小为$\sqrt{6}m/s$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．