Question

14．如图所示，“凸”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边相互垂直，且处于同一竖直平面内，ab边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l．匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面．开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动．在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g．求：
（1）线框刚进入磁场和刚离开磁场的速度比；
（2）若磁场的宽度H=30l，则线框完全穿过磁场的过程中产生的热量Q为多少？

Answer 1

分析 （1）抓住线框cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前和ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框做匀速运动，根据平衡，结合切割产生的感应电动势公式和安培力公式得出匀速运动速度的表达式，从而得出速度之比．
（2）根据速度位移公式求出线框刚进入磁场的速度，从而得出离开磁场的速度，结合能量守恒定律求出线框完全穿过磁场的过程中产生的热量．

解答 解：（1）线框从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动，根据平衡有：mg=BI•2l=$B•\frac{2Blv}{R}2l=\frac{4{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$
解得匀速运动的速度为：$v=\frac{mgR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$．
在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动，根据平衡有：mg=$BI′l=B•\frac{Blv′}{R}l=\frac{{B}^{2}{l}^{2}v′}{R}$
解得匀速运动的速度为：$v′=\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$，
解得v：v′=1：4．
（2）线框刚进入磁场的速度为：$v=\sqrt{2g•2l}=\sqrt{4gl}$
则线框出磁场的速度为：$v′=4v=8\sqrt{gl}$，
从线框进入磁场到完全离开磁场的过程，根据能量守恒得：
$mg（H+2l）=\frac{1}{2}m（v{′}^{2}-{v}^{2}）+Q$，
解得：Q=2mgl．
答：（1）线框刚进入磁场和刚离开磁场的速度比为1：4；
（2）若磁场的宽度H=30l，则线框完全穿过磁场的过程中产生的热量Q为2mgl．

点评 本题是电磁感应中的综合问题，全面考查电磁感应定律、欧姆定律以及动能定理、平衡条件等知识，分析清楚线框的运动过程、应用匀变速直线运动的速度位移公式、E=BLv、安培力公式、平衡条件、能量守恒定律、电流定义式即可正确解题．